函数的幂级数的展开与技巧VIP专享VIP免费

１ 1 引言 函数的幂级数展开在高等数学中有着重要的地位，在研究幂级数的展开之前我们务必先研究一下泰勒级数，因为泰勒级数在幂级数的展开中有着重要的地位。一般情况，我们用拉格朗日余项和柯西余项来讨论幂级数的展开，几乎不用积分型余项来讨论，今天我们的研究中就有着充分的体现。 2 泰勒级数 泰勒定理指出：若函数f 在点0x 的某个邻域内存在直至n 阶的连续导数，则     20''00002!xxf xf xfxxxfx   )00(!nnnxxfxRxn ， (1) 这里 xRn= nxxo0称为皮亚诺型余项。如果增加条件“  xf有1n阶连续导数”，那么 xRn还可以写成三种形式   1101( )1 !nnnRxfxxn （拉格朗日余项）  1(1)001[()] 1!nnnfxxxxxn （柯西余项）  0(1)1!xnnxftxtdtn， （积分型余项） 如果在(1)中抹去余项 xRn，那么在0x 附近 f 可用(1)式中右边的多项式来近似代替。 如果函数f 在0xx 处有任意阶的导数，这时称形式为：      20000000"'2!!nnfxfxfxfxxxxxxxn (2) 的级数为函数f 在0x 的泰勒级数，对于级数(2)是否能够在0x 附近确切地表达 f ，或说 f 在0x 泰勒级数在0x 附近的和函数是否就是 f ，这是我们现在要讨论的问题。下面我们先看一个例子： ２ 例1  1 由于函数  xf21,0,0,0,xexx 在0xx 处的任何阶导数都为0，即  ,,2,1,00nfn 所以f 在0x 处的泰勒级数为： nxnxx!0!20002， 显然，它在,上收敛，且其和函数 0xS， 由此看到对一切0x 都有  xSxf， 这说明具有任意阶导数的函数，其泰勒级数并不是都收敛于函数本身，只有  0limxRnn 时才能够。 在实际应用上主要讨论在00 x的展开式。这时（2）也可以写成      nnxnfxfxff!0!20!1002'''， 称为麦克劳林级数。 3 函数的幂级数展开与技巧 3.1 一般的泰勒展开法（直接展开法） 我们主要通过例题来表现幂级数的展开与技巧：首先用直接展开法讨论初等函数的幂级数展开形式。通常有三种展开思路：1、统一用柯西余项来估计余项 nRx ；2、统一用积...