课时作业15 均值不等式 时 间 ： 45 分 钟 满 分 ： 100 分 课堂训练 1．已知5x ＋3y ＝1(x >0，y >0)，则x y 的最小值是( ) A．15 B．6 C．60 D．1 【答案】 C 【解析】 5x ＋ 3y ＝ 1≥215x y ， ∴x y ≥60， 当 且仅当 3x ＝ 5y 时 取等号． 2．函数f(x )＝x ＋4x ＋3 在(－∞，－2]上( ) A．无最大值，有最小值7 B．无最大值，有最小值－1 C．有最大值7，有最小值－1 D．有最大值－1，无最小值 【答案】 D 【解析】 x ≤－2， ∴f(x )＝ x ＋ 4x ＋ 3 ＝ －－x ＋ －4x＋ 3≤－2－x －4x ＋ 3 ＝ －1， 当 且仅当 －x ＝ －4x ， 即 x ＝ －2 时 ， 取等号， ∴f(x)有 最 大 值 － 1， 无 最 小 值 ． 3．已知两个正实数x，y 满足x＋y＝4，则使不等式1x＋4y≥m 恒成立的实数m 的取值范围是____________． 【答案】 －∞，94 【解析】 1x＋ 4y＝x＋ y41x＋ 4y ＝ 54＋ y4x＋ xy≥54＋ 214＝ 94. 4．求函数y＝x2＋7x＋10x＋1(x>－1)的最小值． 【分析】 对于本题中的函数，可把 x＋1 看成一个整体，然后将函数用 x＋1 来表示，这样转化一下表达形式，可以暴露其内在的形式特点，从而能用均值定理来处理． 【解析】 因 为 x>－ 1， 所 以 x＋ 1>0. 所 以 y＝ x2＋ 7x＋ 10x＋ 1＝ x＋ 12＋ 5x＋ 1＋ 4x＋ 1 ＝ (x＋ 1)＋4x＋ 1＋ 5≥2x＋ 1· 4x＋ 1＋ 5＝ 9 当 且仅当 x＋ 1＝4x＋ 1， 即 x＝ 1 时， 等号成立． ∴当 x＝ 1 时， 函数 y＝ x2＋ 7x＋ 10x＋ 1(x>－ 1)， 取得最 小 值 为 9. 【规律方法】 形如 f(x)＝ax2＋ bx＋ cmx＋ n(m≠0， a≠0)或者 g(x)＝mx ＋ nax 2＋ bx ＋ c(m≠0， a≠0)的 函 数 ， 可 以 把mx ＋ n 看 成 一个 整 体 ， 设mx ＋ n＝ t， 那 么 f(x )与 g(x )都 可 以 转 化 为 关 于 t 的 函 数 ． 课后作业 一、选择题(每小题 5 分，共 40 分) 1．设x >0，则y ＝3－3x －1x 的最大值是( ) A．3 B．3－3 2 C．3－2 3 D．－1 【答案】 C 【解析】 y ＝ 3－ 3x － 1x ＝ 3－ (3x ＋ 1x )≤3－ 23x ·1x ＝ 3－ 2 3. ...
