2.1. 试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，12(,,)pXXXXL的联合分布密度函数是一个p 维的函数，而边际分布讨论是12(,,)pXXXXL的子向量的概率分布，其概率密度函数的维数小于p 。2.2 设二维随机向量12()XX服从二元正态分布，写出其联合分布。解：设12()XX的均值向量为12μ，协方差矩阵为21122212，则其联合分布密度函数为1/212221121122221221211( )exp()()22f xxμxμ。2.3 已知随机向量12()XX的联合密度函数为121212222[()()()()2()()](,)() ()dcxabaxcxa xcf x xbadc其中1axb ，2cxd 。求（ 1）随机变量1X 和2X的边缘密度函数、均值和方差；（ 2）随机变量1X 和2X的协方差和相关系数；（ 3）判断1X 和2X是否相互独立。（ 1）解：随机变量1X和2X的边缘密度函数、均值和方差；112121222[()()()()2()()]()() ()dxcdcxabaxcxaxcfxdxbadc12212222222()()2[()()2()()]() ()() ()ddccdc xa xbaxcxaxcdxbadcbadc121222202()()2[()2() ]() ()() ()ddccdcxa xba txa t dtbadcbadc22121222202()()[()2()]1() ()() ()dcdcdcxa xba txa tbadcbadcba所以由于1X 服从均匀分布，则均值为2ba，方差为212ba。同理，由于2X服从均匀分布2121,()0xxc dfxdc其它，则均值为2dc，方差为212dc。（ 2）解：随机变量1X和2X的协方差和相关系数；12cov(,)x x12121212222[()()()()2()()]22() ()dbcadcxabaxcxaxcabdcxxdx dxbadc()()36cdba1212cov(,)13xxx x（ 3）解：判断1X 和2X是否相互独立。1X 和2X由于121212(,)()()xxfx xfxfx，所以不独立。2.4 设12(,,)pXXXXL服从正态分布， 已知其协方差矩阵为对角阵， 证明其分量是相互独立的随机变量。解： 因为12(,,)pXXXXL的密度函数为1/21111(,...,)exp()()22ppf xxΣxμ Σxμ又由于21222pΣO22212pΣL212122111pΣO则1(,...,)pf xx211/22222121221111exp()()221pppΣxμ ΣxμLO222123111222212()()()1111exp...2222pppppxxxL2121()1exp()... ()22piipiiixf xf x则其分量是相互独立。2.6 渐近无偏性、有效性和一致性；2.7 设总体服从正态分布，~( ,)pNXμ Σ，有样本12,,...,nXXX。由于 X 是相互独立的正态分布随机向量之和，所以X 也服从正态分布。又111()nnniiiiiEEnEnnXXXμμ2211111()nnniiiiiDDnDnnnΣXXXΣ所以~( ,)pNXμ Σ。2.8 方法 1：11?()()1niiinΣXXXX111niiinnX XXX11?()...
