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第八章 分离变量法 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222 对于这样的定解问题,我们将介绍分离变量法求解,首先回忆高数中我们如何处理的求解的,高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数 分离变量法的思路:对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解,也就是通过分离变量法把x、t两个变量分开来,即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。 分离变量法的思想:先求出具有分离形式且满足边界条件的特解,然后由叠加原理做出这些解的线性组合,最后由其余的定解条件确定叠加系数(叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件,再由初始条件确定通解中的未知的数)。 叠加原理:线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。 特点:(1)数学上 解的唯一性来做作保证。 (2)物理上 由叠加原理作保证。 例:有界弦的自由振动 1.求两端固定的弦的自由振动的规律 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222 第一步:分离变量(建立常微分方程定解问题) 令)()(),(tTxXtxu 这个思想可从实际的物理现象可抽象出来,比如我现在说话的声音,它的振幅肯定随时间变化,但到达每个同学的位置不同,振幅又是随位置变化,可把声音分成两部分,一部分认为它随时间变化,一部分随位置变化。 第二步:代入方程 (偏微分就可写成微分的形式,对于u 有两个变量,但对于X、T 都只有一个变量) )()()()(2tTxXatTxX 变形得)()()()(2tTatTxXxX=  左边与 t 无关,右边与 x 无关,左右两边相互独立,要想相等,必定等于一个常数。由于x, t 是相互 独立的变量,上式必然等于同一常数。 方程左边为关于x 的函数,方程右边为关于t 的函数,只有当左右两边都等于常数的时候才成立 令其为(得到的两个常微分方程形式比较标准) 0)()(xXxX 0)()(2tTatT 得到两个常微分方程 第三步:代入边界条件 得到:0)()0(tTX 0)()(tTlX,由于是t>0 得值,)(tT是一个范围内不固定的值, 所以 0)0(X 0)(lX 常微分方程含 , 未知,需要对 进行讨论 0)()(xXxX, 0)0(X 0)(lX 特征(固有)值问题:含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。 特征(固有)函数:和特征值相对应的非零解 第...

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