数理方程分离变量法VIP专享VIP免费

第八章 分离变量法 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222 对于这样的定解问题，我们将介绍分离变量法求解，首先回忆高数中我们如何处理的求解的，高数中处理微分或重积分是把函数分成单元函数 分离变量法的思路：对于二阶线性微分方程变换成单元函数来求解，也就是通过分离变量法把x、t两个变量分开来，即把常微分方程变化为两个偏微分方程来求解。 分离变量法的思想：先求出具有分离形式且满足边界条件的特解，然后由叠加原理做出这些解的线性组合，最后由其余的定解条件确定叠加系数（叠加后这些特解满足边界条件不满足初始条件，再由初始条件确定通解中的未知的数）。 叠加原理：线性偏微分方程的解的线性组合仍是这个方程的解。 特点：（1）数学上 解的唯一性来做作保证。 （2）物理上 由叠加原理作保证。 例：有界弦的自由振动 1.求两端固定的弦的自由振动的规律 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0)()0,(),()0,(00),(,0),0(0,022222 第一步：分离变量（建立常微分方程定解问题） 令)()(),(tTxXtxu 这个思想可从实际的物理现象可抽象出来，比如我现在说话的声音，它的振幅肯定随时间变化，但到达每个同学的位置不同，振幅又是随位置变化，可把声音分成两部分，一部分认为它随时间变化，一部分随位置变化。 第二步：代入方程 （偏微分就可写成微分的形式，对于u 有两个变量，但对于X、T 都只有一个变量） )()()()(2tTxXatTxX 变形得)()()()(2tTatTxXxX=  左边与 t 无关，右边与 x 无关，左右两边相互独立，要想相等，必定等于一个常数。由于x, t 是相互 独立的变量，上式必然等于同一常数。 方程左边为关于x 的函数，方程右边为关于t 的函数，只有当左右两边都等于常数的时候才成立 令其为（得到的两个常微分方程形式比较标准） 0)()(xXxX 0)()(2tTatT 得到两个常微分方程 第三步：代入边界条件 得到：0)()0(tTX 0)()(tTlX，由于是t>0 得值，)(tT是一个范围内不固定的值， 所以 0)0(X 0)(lX 常微分方程含 ， 未知，需要对 进行讨论 0)()(xXxX， 0)0(X 0)(lX 特征（固有）值问题：含有待定常数常微分方程子一定条件下的求解问题。 特征（固有）函数：和特征值相对应的非零解 第...