浙江大学1999年——2008年高等代数试题VIP免费

浙 江 大 学 一九九九年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 高等代数 一、（10 分）是个不相同的整数，证明naaa,,,21n1)())(()(21+−−−=naxaxaxxf在有理数域上可约的充分必要条件是可表示为一个整数多项式的平方． )(xf二、（10 分）设，且，求（1）⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=naaa21α0=αα TTnEαα−； （2）． 1)(−−TnEαα（其中为阶单位阵，） nEn的转置为αα T三、（10 分）矩阵是行满秩nmA×)(mA =即秩，证明： （1）存在可逆阵，使得； QQEAm)0,(=（2）存在矩阵，使得． mnB×mEAB =四、（10 分）设阶方阵nA 满足AA =2，nααα,,,21是nP 中个线性无关的列向量，设是由n2VnAAAααα,,,21生成的子空间，是1V0=AX的解空间，证明： 21VVP n⊕=． 五、（15 分）设都是阶实对称矩阵，且BA,nB 正定，则 存在，使得． ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=nDSλλ1及TTSSBSDSA==,六、（15 分）设阶矩阵n()ijn nAa×=，满足下列条件： （i）0；1,ijai≤≤∀ , j （ii）121,(1,2,, )iiinaaain+++==.求证： （1）若λ 是 A 的任意一个特征值，则1λ ≤ ； （2）01λ = 为 A 的任意一个特征值． 七、（15 分）nR 是维欧氏空间，nA 是阶正定阵，n1122,nnnxyxyRxyαβ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟==∈⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠．求证： 2()()(TTTAA)Aαβαα β≤β ，且等号成立当且仅当,α β 线性相关． 八、（15 分） （1）设,A B 分别为复数矩阵域上的阶和l 阶方阵，并且k,A B 没有公共的特征值，求证 AXXB=只有空解（这里()ijk lXx×=）. （2）在n nR × 中，变换 A :,n nXAXXA AR ×+∈, A 为一个固定的矩阵，且 A 的特征值不为A−的特征值，求证：A 为一个线性变换． 浙江大学历年高等代数试题 第 1 页，共 9 页 浙 江 大 学 二〇〇〇年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 高等代数 一、（20 分）( )f x 是数域上的不可约多项式． P（1），且与( )[ ]g xP x∈( )f x 有一个公共复根，证明( ) | ( )f xg x ． （2）若c 及 1c 都是( )f x 的根，b 是( )f x 的任一根，证明 1b 也是( )f x 的根． 二、（10 分）计算行列式210000121000000121000012nD =    ． 三、（20 分） （1） A是正定阵，C 是实对称矩阵，证明：存在可逆矩阵使得同时...