清华大学高等数值分析(李津)第二次实践作业VIP免费

奇异值分解算法分析及利用SVD进行图像压缩 报告提纲： 一、 奇异值分解 二、 SVD 算法 三、 实验过程 四、 实验结果分析 五、 SVD 法图像压缩及结果分析 奇异值分解 定义设m nAR，TA A的特征值的非负平方根称作A 的奇异值；A 的奇异值的全体记作  A。 当 A 为复矩阵m nC 时，只需将TA A改为HA A，定义仍然成立。 定理（奇异值分解定理）设m nAR，则必存在正交矩阵 1 ,...,m mmUuuR和1 ,...,n nnVvvR  使得 000rTrn rrU AVmr  其中11(,...,),...0rrrdiag  [2]。 当 A 为复矩阵m nC 时，只需将定理中,U V 改为酉矩阵，其它不变，定理仍然成立。 奇异值分解通常简称为 SVD，i 是 A 的奇异值，向量iu 和iv 分别是第i 个左奇异向量和第i 个右奇异向量。 SVD 算法 1. QR 迭代算法 （1）输入 ()m nARmn及允许误差 . （2）二对角化：计算Householder 变换1,,,nPP12,,nHH使得 112()(),0TnnBnPPA HHmn     其中1200nnB  ； 12:,nUPPP122:.nVH HH 具体算法，书面作业中题目具体解释。 （3）收敛性检验： （i）将所有满足 1jjj  的 j 置零； （ii）如果0,2,,jjn ，则输出有关信息结束；否则，1 : 0 ，确定正整数 pq，使得 10pqn  ，0j ，pjq； （iii）如果存在i 满足1piq  使得 iB， 则111: 0,:,:,: 0, : 1iiiixyl ，转步（iv），否则转步（4）. （iv）确定cos ,sincs和 使 0 ,csxscy          //这也相对于,0Tcsyscx         所以可以直接调用 givens 变换算法得到 :,i l :( ,, ) ;TUUG i il  //这相当于(1: ; ,)(1: ; ,)(1: ; ,);TcscsUn i ilUn i ilUn i ilscsc （v ）如果lqi ，则 1:i lxs ，11:i li lc  ，1:i ly ，:1ll  ， 转步（iv ），否则转步（i）....