微积分 — 154 — 本章教材习题全解 1．选择题： (1) 罗尔定理中的三个条件： ( )f x 在 [ , ]a b 上连续，在 ( , )a b 内可导，且( )( )f af b，是( )f x 在 ( , )a b 内至少存在一点 ，使得( )0f 成立的( ). A.必要条件 B.充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 解：B. 罗尔定理的条件是充分的. 例如2( )( )f xx D x三个条件都不满足，但有(0)0f . 其中1,( )0,xQD xxRQ ， Q 为有理数集，R 为实数集. (2) 下列条件不能使函数( )f x 在区间[ , ]a b 上应用拉格朗日中值定理的是( ). A. ( )f x 在 [ , ]a b 上连续，在( , )a b 内可导 B. ( )f x 在 ,a b 上可导 C. ( )f x 在 ,a b 内可导，且在a 点左右连续，b 点左右连续 D. ( )f x 在 ,a b 内有连续的导数 解：D. 因为( )f x 在 ,a b 内有连续的导数，( )f x 在 [ , ]a b 不一定连续；A 是拉格朗日中值定理的条件；B，由( )f x 在 [ , ]a b 上可导，从而在[ , ]a b 连续，条件强于拉格朗日中值定理；C，( )f x 在 ,a b 内可导，从而在,a b 连续，又( )f xa 点左右连续，b 点左右连续，可知其在[ , ]a b 连续，因此满足拉格朗日中值定理的条件. (3) 求极限sinlimsinxxxxx，下列解法( )正确。 A.用洛必达法则，原式1 cossinlimlim11 cossinxxxxxx B.不用洛必达法则，极限不存在 C.不用洛必达法则，原式sin11 1lim1sin1 11xxxxx D.不用洛必达法则，原式sin11 0lim1sin101xxxxx 解：D. A 错在1 coslim1 cosxxx不是00或 ，不能对其分子、分母求导；B，洛必达条件是充分而非必要的，因此不满足洛必达，极限可能存在；C 错在利用sinlim1xxx ，此时极限为0. (4) 设一新产品的需求量是价格P 的函数，已知函数关系为(0,0)QabP ab，则需求量对价格的弹性是( ). 1 x y -1 2 o 图 4-2 第四章 中值定理与导数应用辅导材料 — 155 — A. bab B. %bab C. bPabP D. bPabP 解：D. Qb ，弹性为()EQPbPbEPQabP . (5) 设某商品的需求价格弹性函数为172EQPEPP。在5P 时，若价格上涨 ...
