等腰三角形的存在性问题 解题策略 如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况． 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 例题精讲 1．如图，在平面直角坐标系x Oy 中，已知点D 在坐标为(3，4)，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，如果△DOP是等腰三角形，求点P 的坐标． 解析．因为D（3，4），所以OD＝5，3cos5DOP． ①如图1，当PD＝PO 时，作PE⊥OD 于 E． 在Rt△OPE 中，3cos5OEDOPOP，52OE ，所以256OO ．此时点P 的坐标为25(,0)6． ②如图2，当OP＝OD＝5 时，点P 的坐标为(5，0)． ③如图3，当DO＝DP 时，点D 在OP 的垂直平分线上，此时点P 的坐标为(6，0)． 2．如图，在矩形ABCD 中，AB＝6，BC＝8，动点P 以2 个单位/秒的速度从点A 出发，沿 AC 向点C 移动，同时动点Q 以1 个单位/秒的速度从点C 出发，沿 CB 向点B 移动，当P、Q 两点中其中一点到达终点时则停止运动．在P、Q 两点移动过程中，当△PQC 为等腰三角形时，求t 的值． 解析．在Rt△ABC 中，10862222BCABAC.因此4cos5ACB. 在△PQC 中，CQ＝t，CP＝10－2t. ①如图1，当CPCQ时，102tt，解得103t (秒). ②如图2，当QPQC时，过点Q 作QM⊥AC 于M，则CM＝152 PCt . 在Rt△QMC 中，45cos5CMtQCMCQt，解得259t (秒). ③如图3，当PCPQ 时，过点P 作PN⊥BC 于N，则CN＝1122QCt. 在Rt△PNC 中，142cos5102tCNPCNCPt，解得8021t (秒). 综上所述，当t 为秒秒、秒、2180925310时，△PQC 为等腰三角形. 3．如图，直线y ＝2x ＋2 与x 轴交于点A，与y 轴交于点B，点P 是x 轴正半轴上的一个动点，直线PQ 与直线AB 垂直，交y 轴于点Q，如果△APQ 是等腰三角形，求点P 的坐标． 解析．由y ＝2x ＋2 得，A(－1，0)，B(0，2)．所以OA＝1，OB＝2． 如图，由△AOB∽△QOP 得，OP∶OQ＝OB∶OA＝2∶1． 设点Q 的坐标为(0，m)，那么点P 的坐标为(2m，0)． 因此AP2＝(2m＋1)2，AQ2＝m2＋1，PQ2＝m2＋(2m)2＝5m2． ①当AP＝AQ 时，AP2＝AQ2，解方程(2m＋1)2...
