13 / 15 §1 曲面的概念1. 求正螺面 r ={ uvcos ,u vsin, bv }的坐标曲线 . 解 u- 曲线为 r ={u0cosv ,u 0sin v ,bv0 }=｛0,0 ，bv 0 ｝＋u {0cosv ,0sin v ,0} ，为曲线的直母线； v- 曲线为 r ={0uvcos ,0uvsin,bv } 为圆柱螺线．２．证明双曲抛物面r ＝｛ a（u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的坐标曲线就是它的直母线 . 证 u- 曲线为 r ={ a（u+0v ）, b（u-0v ）,2u0v }={ a0v , b0v ,0}+ u{a,b,20v }表示过点 { a0v , b0v ,0} 以{a,b,20v } 为方向向量的直线 ; v- 曲线为 r =｛a（0u +v）, b（0u-v ）,20uv｝=｛a0u , b0u,0 ｝+v{a,-b,20u}表示过点 (a0u , b0u,0) 以{a,-b,20u} 为方向向量的直线 . 3．求球面 r =}sin,sincos,sincos{aaa上任意点的切平面和法线方程. 解 r =}cos,sinsin,cossin{aaa，r =}0,coscos,sincos{aa任意点的切平面方程为00coscossincoscossinsincossinsinsincoscoscosaaaaaazayax即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；法线方程为sinsinsincossincoscoscoscoscosazayax . 4．求椭圆柱面22221xyab在任意点的切平面方程， 并证明沿每一条直母线， 此曲面只有一个切平面 . 解 椭圆柱面22221xyab的参数方程为x = cos, y = asin, z = t , 14 / 15 }0,cos,sin{bar , }1,0,0{tr . 所以切平面方程为：01000cossinsincosbatzbyax，即 x bcos + y asin－ a b = 0 此方程与 t 无关，对于的每一确定的值，确定唯一一个切平面，而的每一数值对应一条直母线，说明沿每一条直母线，此曲面只有一个切平面 . 5．证明曲面},,{3uvavur的切平面和三个坐标平面所构成的四面体的体积是常数. 证},0,1{23vuaru，},1,0{23uvarv. 切平面方程为：33 zauvvyux. 与三坐标轴的交点分别为(3u,0,0),(0,3v,0),(0,0,uva23). 于是，四面体的体积为：3329||3||3||361auvavuV是常数 . §２ 曲面的第一基本形式1. 求双曲抛物面 r ＝｛ a（u+v）, b （u-v ）,2uv ｝的第一基本形式 . 解,4},2,,{},2,,{2222vbarEubarvbaruvu2222224,4ubarGuvbarrFvvu, ∴ I = 2222)4(duvba2222222)4()4(dvubadudvuvba. ２．求正螺面 r ={ uvcos ,u vsin, bv } 的第一基本形式，并证明坐标曲线互相垂直 . 解},cos,sin{},0,sin,{cosbvuvurvvrvu，12urE，0vurrF，222burGv，∴I =2222)(dvbudu， Ｆ...
