1 / 4 （微分方程模型）1． 一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0 。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且 3 小时中融化了总体积的7/8 ，问雪堆全部融化还需要多长时间？2． 从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4 （1） 求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）（2） 如运输时间需要2.5 小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？3． 一展开角为 α 的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？4． 容器甲的温度为60 度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70 度，又过十分钟后温度计读数为76 度，试求容器乙内的温度。5． 一块加过热的金属块初始时比室温高70 度，20 分钟测得它比室温高60 度，问：（1）2 小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10 度？6． 设初始时容器里盛放着含净盐10 千克的盐水 100 升，现对其以每分钟3 升的速率注入清水， 容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2 升的速率放出盐水，求 1 小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？7． 某伞降兵跳伞时的总质量为100 公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v, 该伞降兵的初始下落速度为0，经 8 秒钟后降落伞打开， 降落伞打开后的空气阻力约为 0.6试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。8． 1988 年 8 月 5 日英国人 Mike McCarthy 创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179 英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。9． 证明对数螺线r=A上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常数，（）10． 实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005 。现有一包裹从离地150 米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？11． 生态学家估计人的内禀增长率约为0.029 ，已知 1961 年世界人口数为30.6 亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02 。试根据 Logistic模型计算：（ 1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？12． 早期肿瘤的体积增长满足Malthus 模型（=λ V，其中 λ 为常数），（ 1）求肿瘤的增倍时间 σ 。根据统计资料，一般有σ(7,...
