悬臂梁固有频率的计算VIP免费

1 悬臂梁固有频率的计算试求在0x处固定、 xl 处自由的等截面悬臂梁振动的固有频率（求解前五阶）。解： 法一：欧拉 - 伯努利梁理论悬臂梁的运动微分方程为：4242( , )( , )+0w x tw x tEIAxt；悬臂梁的边界条件为：2222(0)0(1),(0)0(2)0(3),(EI)0(4)xlx ldwwww xxdxxxx，；该偏微分方程的自由振动解为(x, t)W(x)T(t)w，将此解带入悬臂梁的运动微分方程可得到1234(x)C cossincoshsinhWxCxCxCx ，(t)AcostBsintTww ；其中24AEI将边界条件（1）、（2）带入上式可得13C0C，24C0C；进一步整理可得12(x)C (coscosh)(sinsinh)WxxCxx；再将边界条件（3）、（4）带入可得12(coscosh)C (sinsinh)0Cllll；12(sinsinh)C (coscosh)0Cllll要求12CC和有非零解，则它们的系数行列式必为零，即(coscosh)(sinsinh)=0(sinsinh)(coscosh)llllllll所以得到频率方程为：cos()cosh()1nnll；该方程的根nl 表示振动系统的固有频率：1224() () ,1,2,...nnEIwlnAl满足上式中的各nl （1,2,...n）的值在书 P443表 8.4 中给出，现罗列如下：123451.8751044.6940917.85475710.99554114.1372lllll，，，，；若相对于n 的2C 值表示为2nC，根据式中的1nC ，2nC可以表示为21coscosh()sinsinhnnnnnnllCCll；2 因此1coscosh(x)C(cosxcoshx)(sinxsinhx) ,1,2,...sinsinhnnnnnnnnnnllWnll由此可得到悬臂梁的前五阶固有频率，分别将n=1,2,3,4,5带入可得：1112222221234441.875104 ()4.694091 ()7.854757 ()EIEIEIAlAlAl，，，112222454410.995541 ()14.1372 ()EIEIAlAl，；法二、铁摩辛柯梁梁理论1.悬臂梁的自由振动微分方程：4242442224( , )( , )(1)0w x tw x tEwIwEIAIkGkGxtxtt；边界条件：(0)(0)0w xx（1），0xlxlwxx（2）；设方程的通解为：( , )Csincosnn xw x tw tl；易知边界条件（1）满足此通解，将通解带入上面的微分方程可得到频率方程为：422222224442224r()(1)0nnnrnrEnwwkGllkGl；其中22IEIrAA，；若转动惯量与剪切变形的影响均忽略，上式的频率方程简化为222222=nnEI nwlAl；当 n=1,2,3,4,5 时可分别求得固有频率为：222221234522222491625EIEIEIEIEIwwwwwA lA lA lAlAl，，，，。多自由度系统频率的计算方法等效质量：连续系统悬臂梁简化为5 个相等的集中质量12345m5mmmmm。1. 邓克莱法邓克莱公式为：3 111222555211aaammm，其中3333311223344558964,,,,3753751253753lllllaaaaaEIEIEIEIEI，12345m5mmmmm...