抛物线点差法2 点差法————抛物线中点弦问题中的妙用定理在抛物线)0(22mmxy中，若直线 l 与抛物线相交于 M 、N 两点，点),(00 yxP是弦 MN 的中点，弦MN 所在的直线 l的斜率为MNk ，则mykMN0. 证明：设 M 、N 两点的坐标分别为),(11 yx、),(22 yx，则有)2(.2)1(,2222121mxymxy)2()1(，得).(2212221xxmyy.2)(121212myyxxyy又01212122,yyyxxyykMN. myk MN0. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点； （2）直线的斜率存在 . 同理可证，在抛物线)0(22mmyx中，若直线l与抛物线相交于 M 、N 两点，点),(00 yxP是弦 MN 的中点，弦 MN 所在的直线 l 的斜率为MNk ，则mxk MN01. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在， 且不等于零. 典题妙解3 例 1 抛物线xy42的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（）A. 12xyB. )1(22xyC. 212xyD. 122xy解：2m，焦点)0,1(在 x轴上. 设弦的中点 M 的坐标为),(yx. 由mykMN得：21yxy，整理得：)1(22xy. 所求的轨迹方程为)1(22xy.故选 B. 例 2 抛物线22xy上一组斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程是（）A. 21x（ y＞ 21 ）B. 21y（ x＞ 21 ）C. xy2（ x＞ 1）D. 12xy解：由22xy得yx212，41m，焦点在 y轴上 . 设平行弦的中点 M 的坐标为),(yx. 由mxk MN1得：4121 x，21x. 在22xy中，当21x时，21y. 点 M 的轨迹方程为21x（ y＞ 21 ）. 4 故答案选 A. 例 3 （03 上海）直线1xy被抛物线xy42截得的线段的中点坐标是 ___________. 解：2m，焦点)0,1(在 x轴上. 设弦 MN 的中点 P的坐标为),(yx，弦 MN 所在的直线l的斜率为MNk ，则.1MNk由mykMN0得：20y，.120x从而30x. 所求的中点坐标是)2,3(. 例 4 抛物线的顶点在原点，焦点在x轴上，它和直线1xy相交，所得的弦的中点在522yx上，求抛物线的方程 . 解：设抛物线的方程为)0(22mmxy，直线与抛物线的两个交点为M 、N，弦 MN 的中点 P 的坐标为),(00 yx. 由mykMN0得：my 0，.1100myx又 点),1(mmP在圆522yx上，.5)1(22mm解之得：,2m或.1m由.2,12mxyxy得：.01)1(22xmx直线与抛物线有两个不同的交点，5 4)1(42m＞0. m＜2，或 m＞0. .1m故所求的抛物线方程为.22xy例 5.已知抛物线xy122上永远有关于直线mxyl4:对称的相异两点，求实数m的取值范围 . 解：设抛物线上 A、B 两点关于直线l对称，且...
