抛物线的简单几何性质典型例题第 2 页 共 14 页典型例题一例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，通过点 P 和抛物线顶点的直线交准线于点 M，如何证明直线MQ 平行于抛物线的对称轴？解：思路一：求出M、Q 的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x 轴，为此，将方程)2(,22pxkypxy联立，解出),)11(,2)11((2222kkpkkpP))11(,2)11((2222kkpkkpQ直线 OP 的方程为,)11()11(2222xkkky即.)11(22xkky令2px，得 M 点纵坐标QMykkpy)11(2得证．由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐．思路二：利用命题“如果过抛物线pxy22的焦点的一条直线和这条抛物线相交，两上交点的纵坐标为1y 、2y ，那么221pyy”来证．设),(11 yxP、),(22 yxQ、),(33 yxM， 并 从pxy22及)2(pxky中 消 去x ， 得 到0222kppyky，则有结论221pyy，即122ypy．又直线 OP 的方程为xxyy11，2px，得1132xpyy．因为),(11 yxP在抛物线上，所以pyx2112．从而212211113)(2yypyppyxpyy．这一证法运算较小．思路三：直线 MQ 的方程为oyy的充要条件是),2(),,2(0200ypyQypM．第 3 页 共 14 页将直线 MO 的方程pyy02和直线 QF 的方程)2(2220pxpypyyo联立，它的解（ x ,y）就是点 P 的坐标，消去oy 的充要条件是点 P 在抛物线上，得证．这一证法巧用了充要条件来进行逆向思维，运算量也较小．说明：本题中过抛物线焦点的直线与x 轴垂直时（即斜率不存在） ，容易证明成立．典型例题二例 2 已知过抛物线)0(22ppxy的焦点且斜率为1 的直线交抛物线于A、B 两点，点 R是含抛物线顶点O 的弧 AB 上一点，求 △RAB 的最大面积．分析：求 RAB 的最大面积， 因过焦点且斜率为1 的弦长为定值， 故可以 AB 为三角形的底，只要确定高的最大值即可．解：设 AB 所在的直线方程为2pxy．将其代入抛物线方程pxy22，消去 x 得0222ppyypyyyyyyAB44)(222122121当过 R 的直线 l 平行于 AB 且与抛物线相切时， △RAB 的面积有最大值．设直线 l 方程为bxy．代入抛物线方程得0222pbpyy由,0842pbp得2pb，这时),2(ppR．它到 AB 的距离为ph22∴△RAB 的最大面积为2221phAB．典型例题三例 3 直线1l 过点)0,1(M，与抛物线xy42交于1P 、2P 两点， P 是线段1P2P 的中点，直线2l 过 P 和抛物线的焦点F，设直线1l 的斜率为 k．（1）将直线2l 的斜率与直线1l 的斜率之比表示为k 的函数)(kf；（2）求出)(kf的定义域及单调区间...
