二次函数闭区间上的最值问题VIP免费

1 二次函数闭区间上的最值问题与根的分布 一、二次函数闭区间上的最值问题 一元二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设2()(0)f xaxbxc a，求fx( ) 在[]xmn，上的最大值与最小值。 分析：将fx( ) 配方，得对称轴方程xba  2 当a  0时，抛物线开口向上 若bamn2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若bamn2[]， 当a  0时，抛物线开口向上，此时函数在[]mn，上具有单调性，故在离对称轴xba  2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值。当a  0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a  0时 m a x121()() ()22()1()() ()22bfmmnafxbfnmna 如图如图，， f xf nbanfbambanf mbam( )( )()()()( )()min  ，，，如图如图如图2222345 当a  0时 f xf nbanfbambanf mbam( )( )()()()( )()max  ，，，如图如图如图2222678 m in9101()()()22( )1( )()()22bfmmnafxbfnmna 如图如图，， 1. 定二次函数在定区间上的最值 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例 1. 函数yxx 242 在区间03，上的最大值是_________，最小值是_______。 2 例1： 解：函数yxxx  224222()是定义在区间03，上的二次函数，其对称轴方程是x  2 ，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上，如图1所示。函数的最大值为f ( )22，最小值为f ( )02。 例2. 已知232xx，求函数f xxx( ) 21 的最值。 例2： 解：由已知232xx，可得032x，即函数f x( ) 是定义在区间032， 上的二次函数。将二次函数配方得f xx( )  12342，其对称轴方程x   12 ，顶点坐标1234，，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间032， 内，如图2所示。函数f x( )的最小值为f ( )01，最大值为f321 94  。 解后反思：已知二次函数f xaxbxc( ) ...