初三数学圆的综合的专项培优 易错 难题练习题 一、圆的综合 1．如图，点 A、B、C 分别是⊙O 上的点， CD 是⊙O 的直径，P 是 CD 延长线上的一点，AP=AC． （1）若∠ B=60°，求证：AP 是⊙O 的切线； （2）若点 B 是弧 CD 的中点，AB 交 CD 于点 E，CD=4，求 BE·AB 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）8． 【解析】 （1）求出∠ ADC 的度数，求出∠ P、∠ ACO、∠ OAC 度数，求出∠ OAP=90°，根据切线判定推出即可； （2）求出 BD 长，求出△DBE 和△ABD 相似，得出比例式，代入即可求出答案． 试题解析：连接 AD，OA， ∠ ADC=∠ B，∠ B=60°， ∴ ∠ ADC=60°， CD 是直径， ∴ ∠ DAC=90°， ∴ ∠ ACO=180°-90°-60°=30°， AP=AC，OA=OC， ∴ ∠ OAC=∠ ACD=30°，∠ P=∠ ACD=30°， ∴ ∠ OAP=180°-30°-30°-30°=90°， 即 OA⊥ AP， OA 为半径， ∴ AP 是⊙O 切线． （2）连接 AD，BD， CD 是直径， ∴ ∠ DBC=90°， CD=4，B 为弧CD 中点， ∴ BD=BC=， ∴ ∠ BDC=∠ BCD=45°， ∴ ∠ DAB=∠ DCB=45°， 即∠ BDE=∠ DAB， ∠ DBE=∠ DBA， ∴ △ DBE∽ △ ABD， ∴， ∴ BE• AB=BD• BD=． 考点：1．切线的判定；2．相似三角形的判定与性质． 2．如图，⊙ A 过▱OBCD 的三顶点O、D、C，边 OB 与⊙ A 相切于点O，边 BC 与⊙ O 相交于点H，射线OA 交边 CD 于点E，交⊙ A 于点F，点P 在射线OA 上，且∠ PCD=2∠ DOF，以O 为原点，OP 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，点B 的坐标为（0，﹣2）． （1）若∠ BOH=30°，求点H 的坐标； （2）求证：直线PC 是⊙ A 的切线； （3）若 OD= 1 0 ，求⊙ A 的半径． 【答案】（1）（1，﹣ 3 ）；（2）详见解析；（3） 53 . 【解析】 【分析】 （1）先判断出 OH=OB=2，利用三角函数求出 MH，OM，即可得出结论； （2）先判断出∠ PCD=∠ DAE，进而判断出∠ PCD=∠ CAE，即可得出结论； （3）先求出OE═ 3，进而用勾股定理建立方程，r2-（3-r）2=1，即可得出结论． 【详解】 （1）解：如图，过点 H 作 HM⊥y 轴，垂足为 M． 四边形 OBCD 是平行四边形， ∴ ∠ B=∠ ODC 四边形 OHCD 是圆内接四边形 ∴ ∠ OHB=∠ ODC ∴ ∠ OHB=∠ B ∴...
