第二十九讲等比数列回归课本1. 等比数列的定义及等比中项(1) 如果一个数列从第 2 项起 , 每一项与它的前一项的比等于同一常数 , 那么这个数列就叫做等比数列 . 这个常数叫做等比数列的公比 , 通常用字母 q 表示 .(2) 对于正整数 m 、 n 、 p 、 q, 若 m+n=p+q, 则等比数列中am,an,ap,aq的关系为 am·an=ap·aq, 如果 a 、 G 、 b 成等比数列 , 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 , 且 G=± (ab>0).ab2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式等比数列的通项公式为 an=a1·qn-1(a1≠0,q≠0); 其前 n 项和公式为 :111(1).(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq或3. 与等比数列有关的结论(1) 在等比数列中 , 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列 , 构成的新数列仍然是等比数列 .(2) 若 {an} 是等比数列 , 则 {λan} ､ {|an|} 皆为等比数列 , 公比分别为 q 和 |q|(λ 为非零常数 ).(3) 一个等比数列各项的 k 次幂 , 仍组成一个等比数列 , 新公比是原公比的 k 次幂 .(4) 等比数列中连续 n 项之积构成的新数列仍然是等比数列 . (5) 若数列 {an} 与 {bn} 均为等比数列 , 则 {m·an·bn} 与 仍为等比数列 , 其中 m 是不为零的常数 .(6) 当 q≠0,q≠1 时 ,Sn=k-k·qn(k≠0) 是 {an} 成等比数列的充要条件 , 这时nnmab1 .1akq 4. 等比数列的判定方法(1) 定义法 : (q 是不为 0 的常数 ,nN∈*)⇔{an} 是等比数列 .(2) 通项公式法 :an=cqn(c,q 均是不为 0 的常数 ,nN∈*)⇔{an}是等比数列 .(3) 中项公式法 :a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,nN∈*)⇔{an}是等比数列 .(4) 前 n 项和公式法 :Sn= qn- =kqn-k(k= 是常数 , 且 q≠0,q≠1)⇔{an} 是等比数列 .1nnaqa 11aq 11aq 11aq 考点陪练1. 已知数列的前 n 项和为 Sn=an-2(a 是不为 0 的实数 ), 那么数列 {an}( )A. 是等比数列B. 当 a≠1 时是等比数列C. 从第二项起成等比数列D. 从第二项起成等比数列或成等差数列解析 : 由数列中 an与 Sn的关系 , 当 n=1 时 ,a1=S1=a-2; 当n≥2 时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1, 经验证 n=1 时 , 通项公式不符合 , 故当 a≠1 时 , 从第二项起成等比数列 ; 当 a=1时 ,an=0(n≥2), 数列从第二项起成等差数列 .答案 :D2. 已知等比数列 ...
