反比例系数 k 的几何意义 (教材 P8 练习第 1 题)已知一个反比例函数的图象经过点 A(3，－4)，(1)这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y 随 x 的增大如何变化？(2)点 B(－3，4)，C(－2，6)，D(3，4)是否在这个函数图象上？为什么？解：(1)第二、四象限，y 随 x 的增大而增大．(2)B、C 在这个函数图象上，D 不在这个函数图象上．【思想方法】 k 的几何意义： 反比例函数图象上的点(x，y)具有两坐标之积(xy＝k)为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数即 S＝|k|。图 1理由：如图 1，过双曲线上任一点作 x 轴，y 轴的垂线 PM、PN 所得的矩形 PMON 的面积 S＝PM·PN＝|y|·|x|＝|xy|； y＝，∴xy＝k，∴S＝|k|.推论：即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S＝|k|.一 反比例函数与矩形面积图 2 如图 2，P(x，y)是反比例函数 y＝的图象在第一象限分支上的一个动点，PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，随着自变量 x 的增大，矩形 OAPB 的面积( A )A．不变 B．增大C．减小 D．无法确定【解析】 因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，即 S＝|k|，所以随着 x 的逐渐增大，矩形 OAPB 的面积将不变．图 3 如图 3，点 A 是双曲线 y＝在第二象限分支上的任意一点，点 B、点 C、点 D 分别是点 A 关于 x 轴、坐标原点、y 轴的对称点．若四边形 ABCD 的面积是 8，则 k 的值为( D )A．－1 B．1C．2 D．－2【解析】 先判定出四边形 ABCD 是矩形，再根据反比例函数的系数的几何意义，用 k 表示出四边形 ABCD 的面积， 四边形 ABCD 的面积是 8，∴4×|k|＝8，解得|k|＝2，又 双曲线位于第二、四象限，∴k＜0，∴k＝－2. 如图 4，点 A 是反比例函数 y＝－(x<0)的图象上的一点，过点 A 作▱ABCD，使点 B、C 在 y 轴上，点 D 在 y 轴上，则▱ABCD 的面积为( C )A．1 B．3 C．6 D．12图 4【解析】 过点 A 作 AE⊥OB 于点 E，因为矩形 ADOE 的面积等于 AD×AE，平行四边形 ABCD 的面积等于 AD×AE，所以▱ABCD 的面积等于矩形 ADOE 的面积，根据反比例函数的 k 的几何意义可得：矩形 ADOE 的面积为 6，即可得平行四边形 ABCD的面积为 ...
