几 何模型：费马点最值模型 费马尔问题思考：如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小
当B、P、Q、E 四点共线时取得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点
它是这样确定的： 1
如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2
如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对 3 边张角均为120°的点，是三角形的费马点
费马点的性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°
费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 =BPAPCP BPPQQEBE 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1
已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°
求证：GA+GB+GC 的值最小
证明：将△BGC 逆时针旋转 60°，连 GP,DB
则 △CGB≌△CPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD
∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°, ∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形
∠AGC=120°, ∠CGP=60°
∴ A、G、P 三点一线
∠CPD=120°, ∠CPG=60°
∴ G、P、D 三点一线
∴ AG、GP、PD 三条线段同在一条直线上
GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD
∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点 变式练习>>> 1．如图，P 是边长为 1 的等边 ABC内的任意一点，求t PAPB
