几 何模型：费马点最值模型 费马尔问题思考：如何找一点P 使它到△ABC 三个顶点的距离之和PA+PB+PC 最小？ 当B、P、Q、E 四点共线时取得最小值 费马点的定义：数学上称，到三角形3 个顶点距离之和最小的点为费马点。 它是这样确定的： 1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点； 2. 如果3 个内角均小于120°，则在三角形内部对 3 边张角均为120°的点，是三角形的费马点。 费马点的性质：费马点有如下主要性质： 1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。 2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。 费马点最小值快速求解： 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换． 秘诀：以△ABC 任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值 =BPAPCP BPPQQEBE 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 已知：△ABC 是锐角三角形，G 是三角形内一点。∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°. 求证：GA+GB+GC 的值最小. 证明：将△BGC 逆时针旋转 60°，连 GP,DB.则 △CGB≌△CPD； ∴ ∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD. ∠GCP=60°, ∴ ∠BCD=60°, ∴ △GCP 和△BCD 都是等边三角形。 ∠AGC=120°, ∠CGP=60°. ∴ A、G、P 三点一线。 ∠CPD=120°, ∠CPG=60°. ∴ G、P、D 三点一线。 ∴ AG、GP、PD 三条线段同在一条直线上。 GA+GC+GB=GA+GP+PD=AD. ∴ G 点是等腰三角形内到三个顶点的距离之和最小的那一点 变式练习>>> 1．如图，P 是边长为 1 的等边 ABC内的任意一点，求t PAPBPC的取值范围. 解：将 BPC绕点B 顺时针旋转 60°得到''BP C， 易知 'BPP为等边三角形. 从而''''PAPBPCPAPPP CAC （两点之间线段最短），从而3t. 过 P 作 BC 的平行线分别交 ABAC、于点MN、， 易知MNANAM. 因为在BMP和 PNC中， PBMPBM①， PCPNNC②。 又APMANMAMN ，所以 PAAM③. ①+②+③可得 12tAMBMMPNPNCABMNNCANNC ， 即2t.综上，t PAPBPC的取值范围为 32t. 例题2. 已知正方形ABCD 内一动点E 到A、B、C 三点的距离之和的最小值为26，求正方形的边长． 解 如图2，连接AC，把△AEC 绕点C 顺时针旋转60°，得...
