初中数学二次函数的应用VIP专享VIP免费

1 二次函数的应用 ◆目标指引 1．运用二次函数的知识去分析问题、解决问题，•并在运用中体会二次函数的实际意义． 2．体会利用二次函数的最值方面的性质解决一些实际问题． 3．经历把实际问题的解决转化为数学问题的解决的过程，•学会运用这种“转化”的数学思想方法． ◆要点讲解 1．在具体问题中经历数量关系的变化规律的过程，•运用二次函数的相关知识解决简单的实际问题，体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2．运用函数思想求最值和数形结合的思想方法研究问题． ◆学法指导 1．当涉及最值问题时，应运用二次函数的性质选取合适的变量，•建立目标函数，再求该目标函数的最值，求最值时应注意两点：（1）变量的取值范围；（2）•求最值时，宜用配方法． 2．有关最大值或最小值的应用题，关键是列出函数解析式，•再利用函数最值的知识求函数值，并根据问题的实际情况作答． ◆例题分析 【例 1】如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm，BC=12cm，点 P 从点 A 开始，•沿着 AB 向点 B 以 1cm/s 的速度移动；点 Q 从点 B 开始，沿BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，•设 P，Q 同时出发，问： （1）经过几秒后 P，Q 的距离最短？ （2）经过几秒后△PBQ 的面积最大？最大面积是多少？ 【分析】这是一个动点问题，也是一个最值问题，设经过 ts，显然 AP 和 BQ•的长度分别为AP=t，BQ=2t（0≤t≤6）．PQ 的距离 PQ=22BPBQ=251236tt．因此，只需求出被开方式 5t2－12t+36 的最小值，就可以求 P，Q 的最短距离． 【解】（1）设经过 ts 后 P，Q 的距离最短，则： 2 PQ=22BPBQ=22(6)(2 )tt=251236tt=261445()55t ∴经过 65 s 后，P，Q 的距离最短． （2）设△PBQ 的面积为 S， 则 S= 12 BP·BQ= 12 （6－t）·2t=6t－t2=9－（t－3）2 ∴当 t=3 时，S 取得最大值，最大值为 9． 即经过 3s 后，△PBQ 的面积最大，最大面积为 9cm2． 【注意】对于动点问题，一般采用“以静制动”的方法，抓住某个静止状态，寻找等量关系．在求最值时，可用配方法或公式法，同时取值时要注意自变量的取值范围． 【例 2】某高科技发展公司投资 1500 万元，成功研制出一种市场需求较大的高科技替代产品，并投入资金 500 万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为 40 元，在销售过程中发现：当销售单价定为 100 元时，年销售量为 2...