1 数学模型-----半角模型 几何是初中数学中非常重要的内容，在数学的学习过程中，若能抓住基本图形，举一反三，定能引领学生领略到“一图一世界”的风采．下面先给大家介绍一种常见的数学模型---半角模型，通过对模型的理解和掌握，把模型的结论融会贯通，理解透彻，有助于理清思路、节省大量时间，遇到这一类题型，都是可以迎刃而解的． 一、模型类别 二、相关结论的运用 （一）等边三角形中120 含60 半角模型 条件：△ABC 是等边三角形，∠CDB =120 ，∠EDF=60 ，BD=CD，旋转△BDE 至 2 △CDG 结论1：△FDE △FDG 结论2：EF=BE+CF 结论3： ∠DEB =∠DEF 典例精讲： 已知四边形 ABCD 中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN 绕 B 点旋转，它的两边分别交 AD，DC（或它们的延长线）于 E、F． （1）当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE＝CF 时（如图 1），试猜想 AE，CF，EF 之间存在怎样的数量关系？请将三条线段分别填入后面横线中： + ＝ ．（不需证明） （2）当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF（如图 2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由． （3）当∠MBN 绕 B 点旋转到 AE≠CF（如图 3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立，线段 AE，CF，EF 又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明． 【思路点拨】 （1）证明△ABE≌△CBF 且△BEF 是等边三角形即可； （2）根据“半角”模型 1，先证△BAE≌△BCG，再根据“半角”模型 1 中的结论2 得出△GBF≌△EBF，再根据“半角”模型 1 中的结论3 即可； （3）根据“半角”模型 1，先证△BAH≌△BCF，再根据“手拉手”模型 1 中的结论2 得出△EBF≌△EBH 即可． 【详解】 解：（1）如图 1， 3 △ABE 和△CBF 中， AECFBAEBCFABCB ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）， ∴∠CBF＝∠EBA，BE＝BF， ∠ABC＝120°，∠EBF＝60°， ∴△BEF 是等边三角形，CF＝ 12 B ，AE＝ 12 BE ， ∴EF＝BE＝BF＝AE+CF； （2）如图 2，延长 FC 至 G，使 AE＝CG，连接 BG， 在△BAE 和△BCG 中， BABCBAEBCGAECG ， ∴△BAE≌△BCG（SAS）， ∴∠ABE＝∠CBG，BE＝BG， ∠ABC＝120°，∠EBF＝60°， ∴∠ABE+∠CBF＝60°， ∴∠CBG+∠CBF＝60°， ∴∠GBF＝∠EBF， 在△GBF 和△EBF 中， BGBEG BFEBFBFBF ...
