思 维 的 发 掘 能 力 的 飞 跃 初 一 数 学 联 赛 班 年 级 1 7 第1 讲 余数定理和综合除法 知 识 总 结 归 纳 一．除法定理： ( )f x 和( )g x 是 两 个 一 元 多 项 式 ， 且( )0g x ， 则 恰 好 有 两 个 多 项 式( )q x 及( )r x ， 使 ( )( )( )( )f xq xg xr x， 其 中( )0r x ， 或 者( )r x 比( )g x 次 数 小 。 这里( )f x 称为被除式 ，( )g x 称为除式 ，( )q x 称为商式 ，( )r x 称为余式 . 二．余数定理： 对于一 元 n 次 多 项 式1110( )nnnnf xa xaxa xa， 用一 元 多 项 式 xc去除( )f x ， 那么余式是 一 个 数 。设这时商为多 项 式( )g x ，则 有 ( )() ( )( )f xxc g xf c 也就是 说， xc去除( )f x 时， 所得的余数 是( )f c . 三．试根法的依据（因式定理）： 如果( )0f c ，那么 xc是( )f x 的一 个 因式 .反过来，如果 xc是( )f x 的一 个 因式 ，那么( )0f c 。 四．试根法的应用： 假定1110( )nnnnf xa xaxa xa是 整系数 多 项 式 ， 又设有 理数pcq是( )f x 的根（ pq、 是互质的两 个 整数 ）， 则 p 是 常数 项0a 的因数 ， q 是 首项 系数na 的因数 . 特别的， 如果1na ，即( )f x 是 首 1 多 项 式 ， 这个 时候1q ， 有 理根都是 整数 根。 典 型 例 题 一 . 多 项 式 的除法 【例1 】 已知32( )4523f xxxx ，2( )21g xxx ，试求( )f x 除以( )g x 所得的商式( )Q x 和余式( )R x . 思 维 的 发 掘 能 力 的 飞 跃 初 一 数 学 联 赛 班 年 级 2 7 【例2 】 已知5432( )3423 52 81 8f xxxxxx，32( )21 3g xxxx，试求( )f x 除以 ( )g x 所得的商式( )Q x 和余式( )R x . 【例3 】 已知432( )571 023f xxxxx,2( )1g xx ，试求( )f x 除以 ( )g x 所得的商式( )Q x 和余式( )R x . 二. 综合除法 【例4 】 用综合除法计算：432(531)(1)xxxxx. 思 维 的 发 掘 能 力 的 飞 跃 初 一 数 学 联 赛 ...
