数系的扩充与复数的引入知识点（一） 1．复数的概念： （ 1）虚数单位i； （ 2）复数的代数形式z=a+bi， (a, b∈ R)； （ 3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。 2．复数集 整 数有 理 数实数(0 )分 数复 数( ,)无 理数(无 限不循环小数)纯 虚 数(0 )虚 数(0 )非 纯 虚 数(0 )babi a bRaba 3．复数a+bi(a, b∈ R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1 与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0 时，a+bi 就是实数，当b≠ 0 时，a+bi 是虚数，其中a=0 且b≠ 0 时称为纯虚数。 应特别注意，a=0 仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0， 则a+bi=0是实数。 4．复数的四则运算 若两个复数z1=a1+b1i， z2=a2+b2i， （ 1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i； （ 2）减法：z1－ z2=(a1－ a2)+(b1－ b2)i； （ 3）乘法：z1· z2=(a1a2－ b1b2)+(a1b2+a2b1)i； （ 4）除法：11212211222222()()za ab ba ba b izab； （ 5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。 （ 6）特殊复数的运算： ① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =± 2i； ③ 若 ω =- 21+ 23i，则ω 3=1， 1+ω +ω 2=0. 5．共轭复数与复数的模 （ 1）若z=a+bi，则zabi，zz 为实数，zz 为纯虚数(b≠ 0). （ 2）复数z=a+bi 的模|Z|=22ab, 且2| |z zz=a2+b2. 6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d∈ R，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+diacbd . 由这个定义得到a+bi=0 00ab . 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。 7．复数a+bi 的共轭复数是a－ bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。 8．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－ 1 结合到实际运算过程中去。 如 (a+bi)(a－ bi)= a2+b2 9．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi≠ 0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。 由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即22()()()()()abiabi cdiacbdbcad icdicdi cdicd. ...
