2025年平面平面的基本性质及应用VIP专享VIP免费

平面、平面的基本性质及应用 一、平面的基本性质回想：涉及三个公理、三个推论、其中公理 3，推论 1，推论 2，推论 3 分别提供了构造平面的四种： （1）选不共线的三点 （2）选一条直线与直线外一点 （3）选两条相交直线 （4）选两条平行直线 二、证明共面的两种办法： 1、构造一种平面，证有关元素在这个平面内；2、构造两个平面，证能拟定平面的元素同在这两个平面内（同一法）。 例 1．已知 a//b, A∈a, B∈b, C∈b. 求证：a,b 及直线 AB，AC 共面。 思路（1）：由 a//b 可拟定平面 α，再证 ABα，ACα； 思路（2）：由 a//b 可拟定平面 α，由直线 AB，AC 可拟定平面 β。由于 α，β 都通过不共线的三点 A、B、C，因此 α，β 重叠。 思路（3）：在思路（2）中的平面 β，还能够由不共线的 A，B，C 三点来构造，或者由点A与直线 b 来构造。 另外，同窗们在书写证明过程的时候，一定要把公理及推论的题设交待清晰，建议同窗们书写时注明理由，以下所示： 写法（一）： 证明： a//b（已知） ∴ a,b 拟定一种平面 α（推论 3） A∈a, b∈b, c∈b（已知） ∴ A∈α，B∈α，C∈α ∴ 直线 ABα，直线 ACα（公理 1）∴ a,b,AB,AC 共面。 写法（二）： 证明： a//b（知） a,b 拟定一种平面 α（推 3） ∴ A∈α，B∈b, C∈b（已知）∴ a 通过 A ， B ， C 三点， AB∩AC=A ∴ 直线 AB，AC 拟定一种平面 β（推论 2） ∴ β 通过 A ， B ， C 三点， A∈a,B∈b, C∈b, a//b（已知） ∴ A，B，C 不共线 ∴ α 与 β 重叠（公理 3） ∴ a, b，AB，AC 共面。 有关同一法证题的思路，请同窗们再看一道例题。 例 2．如果三条互相平行的直线和同一条直线相交，求证：这四条直线共面。 分析：这是一种文字命题，规定画图，写出已知，求证，然后进行证明。另外，在写已知，求证时，要尽量忠实原文的意思。 已知：a//b//c, a∩d=A ，b∩d=B ，c∩d=C 求证：a,b,c,d 共面。 分析 由 a//b 可拟定一种平面 α；由 b//c 可拟定一种平面 β。由于 α，β 都通过两条相交的直线 b 和 d,因此由推论 2 可知，α 与 β 重叠。（注意：α 和 β 都通过的元素，还可有其它的选用方法，请同窗们自己试一试）。 证明： a//b（已知） ∴ a,b 拟定一种平面 α（推论 3） b//c（已知...