2．2.4 均值不等式及其应用 第1 课时 均值不等式 1.均值不等式(基本不等式) (1)算术平均值与几何平均值． 前提 给定两个正数a，b 结论 数a＋b2 称为a，b 的算术平均值 数ab 称为a，b 的几何平均值 (2)均值不等式 前提 a，b 都是正数， 结论 a＋b2 ≥ ab ， 等号成立的条件 当且仅当a＝b 时，等号成立 几何意义 所有周长一定的矩形中，正方形的面积最大． (3)本质：算数平均值的本质就是数a，b 在数轴上对应点的中点坐标．几何平均值的本质就是a，b 乘积的开方．均值不等式就是在正数的前提下其算数平均值大于等于其几何平均值． (4)应用：应用均值不等式求最值． (1)均值不等式中的a，b 只能是具体的某个数吗？ 提 示 ： Xa， b 既 可 以 是 具 体 的 某 个 数 ， 也 可 以 是 代 数 式 ． (2)均值不等式的叙述中，“正数”两个字能省略吗？请举例说明． 提 示 ： 不 能 ， 如（ － 3） ＋ （ － 4）2 ≥（ － 3） ×（ － 4） 是 不 成 立 的 ． 2．均值不等式与最值 两个正数的积为常数时，它们的和有最小值； 两个正数的和为常数时，它们的积有最大值． 通过以上结论可以得出，利用均值不等式求最值要注意哪几方面？ 提 示 ： 求 最 值 时 ， 要 注 意 三 个 条 件 ， 即 “一正 ”“二 定 ”“三 相 等 ”． 1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”). (1)两个不等式a2＋b2≥ 2ab 与a＋b2 ≥ab 成立的条件是相同的．( ) 提 示 ：×．不 等 式 a2＋ b2≥ 2ab 成 立 的 条 件 是 a，b∈R；不 等 式a＋ b2 ≥ab 成 立 的 条 件 是 a>0， b>0. (2)当a>0，b>0 时a＋b≥ 2 ab .( ) 提 示 ： √． 均 值 不 等 式 的 变 形 公 式 ． (3)当a>0，b>0 时ab≤a＋b2 2 .( ) 提 示 ： √． 均 值 不 等 式 的 变 形 公 式 ． (4)函数y＝x－1＋1x－1 的最小值是2.( ) 提 示 ： ×． 当 x－ 1<0， 即 x＜ 1 时 ， x－ 1＋1x－ 1 是 负 数 ． 2．若正实数a，b 满足a＋b＝2，则ab 的最大值为( ) A．1 B．2 2 C．2 D．4 【解 析 】 选 A.当 a， b 为 正 实 数 时 ， 由ab ≤ a＋ b2 ， ab≤a＋ b2 2 ＝ 22 2 ＝ 1， 当 且 仅 当 a＝ b＝ 1 时 等 ...
