工科基础数学第十一章拉普拉斯(Laplace)变换VIP专享VIP免费

第十一章 拉普拉斯(Laplace)变换 积分变换就是通过积分运算，把一个函数变成另外一个函数的变换，这种变换在解微分方程或者其他方程中，有着广泛的应用。 第一节 Laplace 变换及其存在性 拉氏变换的定义：设函数)(tf在0t时有定义，而且积分 0)(dtetfst 在复参数s的某一范围内收敛，则称由此积分所确定的关于复参数s的函数 0)()(dtetfsFst 为函数)(tf的拉普拉斯变换（简称拉氏变换），记为 )(sF)]([tfL 也称)(sF是)(tf的象函数，而)(tf也称为 F(s)的拉氏逆变换（或称为象原函数），记为 )]([)(1sFLtf =)(1 sF  例 1 设0001)(tttu，求)]([tuL 解 根据定义 000)(1)()]([stdesdtedtetutuLststst )0( s =01stes=sttesslim11=s1 ]0)[Re(s 说明：（1）)(tu是工程中常用的函数，叫单位阶跃函数，本章中的)(tu都指这个 函数。 2）设0)Re(,)Im(,)Re(,asbsasbias如果则，那么 0)sin(cos1limlimlimbtibteeeattbtiattstt 通过这个例题可以看出，尽管拉氏变换是含有复参数的广义积分，但由于积分变量是实变量，所以仍然是实变量的积分，只是在运算过程中有时要用到复数的某些概念（特别是在 趋与t时），为了方便，本章的所有函数)(tf几乎都满足 0)(dtetfst=),( tsG0=)0,(),(limsGtsGt=)0,(0sG=)(sF 即带上限时，总是为零。至于F(s)的存在范围一般我们有以下的定理来确定。 拉氏变换的存在定理 若函数)(tf满足下列条件： （1）在0t上的任意一个有限区间上连续； （2）当t时，)(tf的增长速度不超过某一指定的函数，即存在正数M>0及0c，使得 tMetfct 0,)( 则)(tf的拉氏变换 F(s)= 0)(dtetfst 在半平面cs )Re(上一定存在。 这个定理指出两点： 其一，所有不超过指数增长速度的函数的拉氏变换都存在； 其二，)(sF的存在范围通过tMetfct 0,)(来确定，一般取较小的c. 例2 求][sin tL 解 因为在  t0，tet01sin，即0c,所以 000cos10cos1cos1sin][sinststststtdetetdetdtetL ][sin0sin1sin122202tLstestdesstst ][sin122tLs  22][sin s...