习 题2.2 求 下 列 方 程 的 解 。 1.dxdy =xysin 解 : y=e dx (xsine dxcdx ) =e x [-21 ex (xxcossin)+c] =c e x -21 (xxcossin)是 原 方 程 的 解 。 2.dtdx +3x=e t2 解 : 原 方 程 可 化 为 :dtdx =-3x+e t2 所 以 : x=e dt3 ( e t2 e dt3cdt ) =et3 (51 e t5 +c) =c et3 +51 e t2 是 原 方 程 的 解 。 3.dtds =-stcos +21t2sin 解 : s=e tdtcos(t2sin21edtdt 3c ) =etsin( cdttettsincossin) = etsin(cetettsinsinsin) =1sinsintcet 是 原 方 程 的 解 。 4.dxdynx xeynx , n 为 常 数 . 解 : 原 方 程 可 化 为 :dxdynx xeynx )(cdxexeeydxxnnxdxxn )(cexxn 是 原 方 程 的 解 . 5.dxdy +1212yxx=0 解 : 原 方 程 可 化 为 :dxdy =-1212yxx dxxxey212(cdxedxxx 221) )21(ln2 xe)(1ln2cdxexx =)1(12xcex 是 原 方 程 的 解 . 6. dxdy234xyxx 解 :dxdy234xyxx =23yx +xy 令xyu 则 uxy dxdy =udxdux 因 此 :dxduxu =2ux 21udxdu dxduu2 cxu331 cxxu 33 ( *) 将xyu带 入 ( *) 中 得 :3433cxxy是 原 方 程 的 解 . 3332( )21( )227 .(1 )12(1 )12( ),( )(1 )1(1 )(( ))1(1 )dxP x dxxP x dxdyyxdxxdyyxdxxP xQ xxxeexeQ x dxcxP(x)dx232解:方程的通解为: y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)( (x+23221(1 )()211 ,( )(( ))dyyxcdyydxxydxxydyyyQ yyyeyQ y dyc2243P(y)dyP(y)dyP(y)dy1)dx+c) =(x+1) 即:2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。 8. =x+y解:则P(y)= e方程的通解为: x=ee 2331 *)22y dycyycyy =y( =即 x= +cy是方程的通解 ,且y=0也是方程的解。 ( )( )( )19 .,1),( )(( ))01a dxP x dxaxP x dxP x dxaadyayxadxxxaxP xQ xxxeexeeQ x dxcaa为常数解:(方程的通解为: y=1 x+1 =x (dx+c) xx 当 时,方程的通解为 ...