百度文库- 让每个人平等地提升自我11 数列中的一类存在性问题执教者：罗建宇（江苏省张家港市暨阳高级中学）题组一1．设等差数列{}na的前 n 项和为nS ，且5133349aaS，．（1）求数列 {}na的通项公式及前n项和公式；（2）设数列 {}nb的通项公式为nnnabat ，问：是否存在正整数t，使得12mbbb，，(3)mmN，成等差数列？若存在，求出t 和 m 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）221,nnanSn（2）2121nnbnt，要使得12,,mb b b 成等差数列，则212mbbb即：312123121mttmt即：431mt ,m tN ，∴ t 只能取 2，3，5 当2t时，7m；当3t时，5m；当5t时，4m．【注】“存在”则等价于方程有解，本例利用整除性质解决．2．（ 09 年江苏卷17）设na是公差不为零的等差数列，nS 为其前 n 项和，满足222223457,7aaaaS．（1）求数列na的通项公式及前n 项和nS ；（2）试求所有的正整数m ，使得12mmma aa为数列na中的项．【解 析】（1 ） 设 公差 为 d，则22222543aaaa， 由 性 质 得43433 ()()d aad aa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d,所以na的通项公式为27nan，前 n 项和26nSnn ．(2)12mmma aa= (27)(25)23mmm，若其是na中的项，则(27)(25)2723mmnm，令23tm，则12mmma aa= (4)(2)8627tttntt, 即：821ntt所以 t 为 8 的约数．因为 t 是奇数，所以 t 可取的值为1，百度文库- 让每个人平等地提升自我22 当1t，即2m时，5n；当1t，即1m时，4n（舍去）．所以满足条件的正整数2m．【注】不仅可以利用整除性质解决，也可利用奇偶性分析．3． （南通市 2013 届高三期末） 已知数列 { an} 中，a2=1，前 n 项和为 Sn，且1()2nnn aaS．（ 1）求 a1；（2）证明数列 { an} 为等差数列，并写出其通项公式；（ 3）设1lg3nnnab，试问是否存在正整数p，q(其中 1
