例 1 已知数列 {}na满足1232nnnaa，12a，求数列 {}na的通项公式。解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列 {}2nna是以1222a11为首项，以23 为公差的等差数列， 由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列 {}na的通项公式为31()222nnan。评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。（2）累加法例 2 已知数列 {}na满足11211nnaana，，求数列 {}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1) 1][2(2)1](22 1)(21 1) 12[(1)(2)2 1](1) 1(1)2(1) 12(1)(1) 1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnnLLL所以数列 {}na的通项公式为2nan 。评注：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaaL，即得数列 {}na的通项公式。变式： 已知数列 {}na满足112313nnnaaa，，求数列 {}na的通项公式。（3）累乘法例 3 已知数列 {}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列 {}na的通项公式。解：因为112(1)53nnnanaa，，所以0na，则12(1)5nnnana，故1321122112211(1)(2)2 1(1)12[2(1 1)5][2(2 1)5][2(21) 5 ][2(11) 5 ] 32[ (1)3 2]53325!nnnnnnnnnnn nnaaaaaaaaaannn nnLLLL所以数列 {}na的通项公式为(1)12325!.n nnnan评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5nnnana 转化为12(1)5nnnana，进而求出13211221nnnnaaaaaaaaaL，即得数列 {}na的通项公式。变式： 已知数列 {}na满足11231123(1)(2)nnaaaaananL，，求 {}na的通项公式。（4）待定系数法例 4 已知数列 {}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。解：设1152(5 )nnnnaxax④将1235nnnaa代入④式，得12355225nnnnnaxax，等式两边消去2na， 得13 5525nnnxx， 两 边 除 以 5n ， 得 352 ,1,xxx则代 入 ④ 式 得1152(5 )nnnnaa⑤由1156510a及⑤式得50nna，则11525nnnnaa，则数列{5 }nna是以1151a为首项，以2 为公比的等比数列，则152nnna，故125nnna。评注：本题解题的关键是把递推关系式1235nnnaa转化为1152(5 )nnnnaa，从而可知数列 {5 }nna是等比数列，进而求出数列{5 }nna的通项公式，最后再求出数列{}na的通项公式。变式：①已知数列 {}na满足1135241nnnaaa，，求数列 {}na的通项公式。②已知数列 {}na满足2112345...
