1 / 3 数学归纳法的知识体系一、数学归纳法证明是全理性的证明数学归纳法是一种重要的证题方法，许多涉及正整数的问题，往往使用它． 人们验算起始命题成立后，只要证明了递推依据（由)(kP成立，可推出)1(kP成立）就完成了数学归纳法的证明（1）．那么，数学归纳法的逻辑基础是什么？下面从两个方面给予说明．1．数学归纳法合理性是建立在以下自然数公理系统（Peano 公理系统） 基础上的． Peano把自然数集 N 定义为满足如下五条公理的集合．（1）N1（2）任给Na，则存在 a 且Na（ a 为元素 a 的后面加个元素 “ 1”，a 称为 a 的后继数）（3）若ba，则ba（即 N 中任何元素不能作为N 中多于一个元素的后继数）（4）任给Na，则1a（即 1 不是 N 中任一元素的后继数）（5）若 N 的任一子集 M 具有性质（ 1）、（2），则NM（即集合 M 就含有集合 N的所有元素）下面用 Peano 公理证明数学归纳法的合理性：记)(nP表示含自然数 n 的某一命题，若（1）P（1）为真命题；（2）任给N0n，若)(0nP真，则)1(0nP真．则对一切)(,NnPn真．证 ： 记})(|N{真kPkM， 由 ① 知))1((1真PM。 又 由 ② ， 对 一 切))1()((0000真真nPnPMnMn，由 Peano 公理 5 可知NM，即 M 应该包含一切自然数．)(nP对一切自然数都正确．2．数学归纳法的合理性也可用自然数最小数原理来证明，它的逻辑基础是自然数的最小数原理．用反证法证明如下：设满足（ 1）、（2）的命题)(nP不是对所有自然数都成立．记.},)(N|{MmPmmM不真且根据自然数最小数原理：非空的某些自然数组成的集合中一定存在最小自然数，故 M 中一定存在一个最小自然数．不妨设为 l ，显然1l，否则1l，则Ml，即M1，知)1(P不真，这与条件（1）矛盾．由1l知2l，于是N1l，又 l 是使)(nP不真的自然数中的最小者，所以1l就使题为真，即)1(lP真，由（ 2）知)(]1)1[(lPlP为真，2 / 3 所以Ml，这与Ml矛盾．故)(nP对所有自然数都成立．二、数学归纳法的其他形式1．不一定从 1 开妈．初值可据实际情况适当提前或推后，例如，求证：326453nn对一切Nn，能被 14 整除．第一步验证1n时，因31261453数字太大，不易验算，可将初值提前至1n，这样，通过证明命题对一切1n的整数成立，从而证明命题对一切Nn成立．2．不一定由 k 推1k．对于某些命题：（1）验证21、n时，命题成立；（2）设kn时成立，证明2kn时，命题成立， 根据（1）、（2）可断定对一切Nn，命题成立...
