1 / 13 第二讲导数与微分一、大纲考试要求1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念） ，会求平面曲线的切线方程和法线方程．2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数．3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数．4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分．二、内容提要1． 导数的概念xyxfxxfxxfxx00000lim)()()(lim（ 变形，注意相应的增量的含义）几何意义：切线与法线的求法。物理意义：速度，加速度。左，右导数的概念：)(),(00xfxf；与记号：)0(0xf的区别。2． 求导数的四则运算，复合运算，反函数，隐函数，参数方程决定的函数的导数的计算。（积分限函数的导数在定积分复习）3． 微分的概念与求法；可微，可导，连续的关系；微分在近似计算中的应用；一阶微分形式的不变性。4． 高阶导数（递归定义）多项式的高阶导数；可求 n 阶导数的函数形式：)ln(,1,cos,sin,baxbaxaxaxeax等（注意变化为这类函数），莱布尼兹公式；分段函数在分断点的高阶导数；反函数，隐函数，参数方程决定的函数的高阶导数。5． 基本初等函数的求导公式。三、 常考知识点1.导数定义的考查2.求已知函数（包括显式、隐式、参数式及变上限积分确定的函数）的导数或微分或高阶导数。3.判断函数在一点的可导性（常结合连续性、极限存在性）。分段函数的导数4.导数的几何意义，即曲线的切线和法线的求法（曲线方程可以是显式、隐式、参数方程形式及极坐标形式） 。导数的经济意义（含边际与弹性的概念）5.可导、可微、连续的关系。四、导数定义的考查例 1：)()2)(1()(nxxxxxf，求(0),( 1)ff解：)!1(1)()2)(1(lim)1('!)()2)(1(lim)0('10nxnxxxxfnxnxxxxfxx例 2：2( )(1)(2)()xxnxf xeeen ， n为正整数，求(0)f2 / 13 解)!1()1()()2)(1(lim)0('120nxneeefnnxxxx类似：)1004(arctan)24)(arctan14(arctan)(1002xxxxf求)1('f例 3：设(0)f存在，(0)0f，则2330( )2 ()limxx fxf xx（A ）2(0)f（B）(0)f（C）(0)f（D）0 解232333300( )2 ()( )2()limlim[]'(0)xxx f xf xx fxf xfxxx例 4：设函数( )fx 在点 xa可导，则函数 |( ) |f x在点 xa 不可导的充分条件是（A ）( )0,( )0f afa（B）( )0,( )0f afa（C）( )0,( )0f afa（D）(...
