教案教师：__ 王鑫___ 学生：_ 刘竞琰上课时间：学生签字：____________数论 ( 五) 余数问题【知识点概述】一、带余除法的定义及性质：1. 带余除法的定义：一般地，如果 a 是整数， b 是整数（ b≠0）, 若有a÷b=q,,r ，也就是 a＝b×q＋r, 0 ? r ＜b；(1) 当0r时：我们称 a 可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或完全商(2) 当0r时：我们称 a 不可以被 b 整除， q 称为 a 除以 b 的商或不完全商2. 和余数相关的一些重要性质：( 以下 a,b,c均为自然数 ) 性质 1：余数小于除数性质 2： 被除数除数商余数除数 （被除数 - 余数） 商商 （被除数 - 余数） 除数性质 3：a 与 b 的和除以 c 的余数， 等于 a,b 分别除以 c 的余数之和， 或这个和除以c 的余数。例如： 23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 23+16=39除以 5 的余数等于 4，即前两个余数的和3+1. 当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c 的余数。例如： 23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 23+19=42除以 5 的余数等于 3+4=7除以 5 的余数，即 2. 性质 4：a 与 b 的乘积除以 c 的余数， 等于 a,b 分别除以 c 的余数的积， 或者这个积除以 c 所得的余数。例如： 23，16 除以 5 的余数分别是 3 和 1，所以 (2316) 除以 5 的余数等于3 13。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c 的余数。例如： 23，19 除以 5 的余数分别是 3 和 4，所以 (2319) 除以 5 的余数等于3412 除以 5 的余数，即 2. 【注】对于上述性质3，4，我们都可以推广到多个自然数的情形，尤其是性质4，对于我们求一个数的n 次方除以一个数的余数时非常的有用。二、数的同余1. 同余定义若两个整数 a、b 被自然数 m除有相同的余数，那么称a、b 对于模 m同余，用式子表示为： a≡b ( mod m ) 同余式读作： a 同余于 b，模 m 由同余的性质，我们可以得到一个非常重要的推论：若两个数 a，b 除以同一个数 m得到的余数相同，则a，b 的差一定能被 m整除用式子表示为：如果有a≡b ( mod m ) ，那么一定有 a－b＝mk,k 是整数，即 m|(a－b) 这个性质非常重要，是将同余问题与前面学过的整除问题相联系的纽带，一定要熟练掌握。例如：（1）15365(mod7) ，因为 36515350750（2） 5620(mod9)，因为 56203694（3...
