试卷第1 页,总6 页 线性回归方程——非线性方程转化为线性方程 例 1 .(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y(单位:t)和年利润 z(单位:千元)的影响,对近 8 年的宣传费ᵆᵅ和年销售量ᵆᵅ(ᵅ = 1,2,⋯ ,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. ᵆ̅ ᵆ̅ ᵆ̅ 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中ᵆᵅ=√ᵆᵅ ,ᵆ̅ =18 ∑ᵆᵅ8ᵅ=1, ,I)根据散点图判断,ᵆ = ᵄ + ᵄᵆ与ᵆ = ᵅ + ᵅ√ᵆ,哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由); ,II)根据(I)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (III)已知这种产品的年利润 z与 x,y 的关系为ᵆ = 0.2ᵆ − ᵆ ,根据(II)的结果回答下列问题: (i)年宣传费ᵆ = 49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费ᵆ为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(ᵆ1, ᵆ1) (ᵆ2, ᵆ2) ,… ,(ᵆᵅ, ᵆᵅ) 其回归直线ᵆ = ᵯ + ᵯᵆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为:ᵯ̂=∑(ᵆᵅ−ᵆ)(ᵆᵅ−ᵆ)ᵅᵅ=1∑(ᵆᵅ−ᵆ)2ᵅᵅ=1,ᵯ̂ =ᵆ − ᵯ̂ᵆ. 【答案】(Ⅰ)ᵆ = ᵅ + ᵅ√ᵆ适宜作为年销售量ᵆ关于年宣传费ᵆ的回归方程类型;(Ⅱ)ᵆ̂ = 100.6 + 68√ᵆ;(Ⅲ)(i)答案见解析;(ii)46.24 千元. 【解析】(I)由散点图可以判断,ᵆ = ᵅ + ᵅ√ᵆ适宜作为年销售量ᵆ关于年宣传费ᵆ的回归方程类型. (II)令ᵆ = √ᵆ,先建立ᵆ关于ᵆ的线性回归方程,由于ᵅ̂ = ∑(ᵆᵅ−ᵆ)(ᵆ ᵅ−ᵆ)8ᵅ=1∑(ᵆᵅ−ᵆ)28ᵅ=1= 108.81.6 =68, ∴ᵅ̂= ᵆ − ᵅ̂ᵆ=563−68×6.8=100.6, ∴ᵆ关于ᵆ的线性回归方程为ᵆ̂ = 100.6 + 68ᵆ, 因此ᵆ关于ᵆ的回归方程为ᵆ̂ = 100.6 + 68√ᵆ. (III)(ⅰ)由(II)知,当ᵆ=49 时,年销售量ᵆ的预报值ᵆ̂ = 100.6 + 68√49=576.6, 年利润 z 的预报值为ᵆ̂= 576.6 × 0.2 − 49 = 66.32. ,ⅱ)根据(II)的结果知,年利润 z 的预报值ᵆ̂= 0.2(100.6 + 68√ᵆ) − ᵆ = −ᵆ + 13.6√ᵆ + 20.12, 所以当√ᵆ = 13.62 = 6.8,即ᵆ = 46.24时,ᵆ̂取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时,年利润的预报值最大. 试 卷...