试卷第1 页，总6 页 线性回归方程——非线性方程转化为线性方程 例 1 ．(2015·高考全国卷Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费ᵆᵅ和年销售量ᵆᵅ(ᵅ = 1,2,⋯ ,8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. ᵆ̅ ᵆ̅ ᵆ̅ 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中ᵆᵅ=√ᵆᵅ ，ᵆ̅ =18 ∑ᵆᵅ8ᵅ=1， ，I）根据散点图判断，ᵆ = ᵄ + ᵄᵆ与ᵆ = ᵅ + ᵅ√ᵆ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）； ，II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （III）已知这种产品的年利润 z与 x，y 的关系为ᵆ = 0.2ᵆ − ᵆ ，根据（II）的结果回答下列问题： （i）年宣传费ᵆ = 49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii）年宣传费ᵆ为何值时，年利润的预报值最大？ 附：对于一组数据(ᵆ1, ᵆ1) (ᵆ2, ᵆ2) ，… ，(ᵆᵅ, ᵆᵅ) 其回归直线ᵆ = ᵯ + ᵯᵆ的斜率和截距的最小二乘估计分别为：ᵯ̂=∑(ᵆᵅ−ᵆ)(ᵆᵅ−ᵆ)ᵅᵅ=1∑(ᵆᵅ−ᵆ)2ᵅᵅ=1，ᵯ̂ =ᵆ − ᵯ̂ᵆ. 【答案】(Ⅰ)ᵆ = ᵅ + ᵅ√ᵆ适宜作为年销售量ᵆ关于年宣传费ᵆ的回归方程类型；(Ⅱ)ᵆ̂ = 100.6 + 68√ᵆ；(Ⅲ)(i)答案见解析；(ii)46.24 千元. 【解析】（I）由散点图可以判断，ᵆ = ᵅ + ᵅ√ᵆ适宜作为年销售量ᵆ关于年宣传费ᵆ的回归方程类型. （II）令ᵆ = √ᵆ，先建立ᵆ关于ᵆ的线性回归方程，由于ᵅ̂ = ∑(ᵆᵅ−ᵆ)(ᵆ ᵅ−ᵆ)8ᵅ=1∑(ᵆᵅ−ᵆ)28ᵅ=1= 108.81.6 =68， ∴ᵅ̂= ᵆ − ᵅ̂ᵆ=563−68×6.8=100.6， ∴ᵆ关于ᵆ的线性回归方程为ᵆ̂ = 100.6 + 68ᵆ， 因此ᵆ关于ᵆ的回归方程为ᵆ̂ = 100.6 + 68√ᵆ. （III）(ⅰ)由（II）知，当ᵆ=49 时，年销售量ᵆ的预报值ᵆ̂ = 100.6 + 68√49=576.6， 年利润 z 的预报值为ᵆ̂= 576.6 × 0.2 − 49 = 66.32. ，ⅱ）根据（II）的结果知，年利润 z 的预报值ᵆ̂= 0.2(100.6 + 68√ᵆ) − ᵆ = −ᵆ + 13.6√ᵆ + 20.12， 所以当√ᵆ = 13.62 = 6.8，即ᵆ = 46.24时，ᵆ̂取得最大值. 故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大. 试 卷...
