1．1） 在边长为1 的等边三角形内任意放10 个点，证明一定存在 两个点，其距离不大于1/3。 证：如图所示： 在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9 个边长为1/3 的小三角形。由鸽巣原理：10 个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。 2）在边长为1 的三角形内放mn 个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。 由鸽巣原理可知：mn 个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n. 2．证：,1aa2……am m 个数，i=1,2…..m. 设 rmaiiiq 0≤ri ≤m-1 当ri =0 时，存在一个整数可以被 m 整除。 当ri 从 1…..m-1 这 m-1 个中取值，那么 m 个ri 中只有m-1 种可能，则鸽巣原理可知：必存在j 和 k，使得rrkj ,j>k,即有)(qqaakjkjm 3.证： 有理数可由整数和分数组成。 ∴当为整数时，存在以 0 为循环的循环小数。 ∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以 0 为循环的循环小数。 ∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。 4．证： 设全部由7 组成的 N+1 个数，7，77，777，……,7777。。。。77（N+1 个 7） 存在整数N，由7 组成的数除以 N，以ai代表 N+1 中的数。 即ai=Nq+ri 0≤ri ≤ N-1 则存在 0….N-1 这 n 个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数aaki, 使得)(qqaakjkjN 是 N 的倍数 组合数学第 2 次作业 2．5 ⑴ 证明在任意选取的 n +1 个正整数中存在着两个正整数，其差能被 n 整除。 解：设任意 n +1 正整数aaan 221,......,，任意取两个整数的差为sk =aaji ,i>j.差除以 n 的余数为ri 。 ∴0≤ri ≤n -1 如果存在 i，使得ri =0.则aaji 可以被 n 整除，对所有i，i=1,2 。。。。n 都有ri ≠0 则这 n 个 i 中只能取 1,2.。。。。n -1。这 n -1 种情况。由鸽巢原理可知，必存在 i 和j 使得rrij ，i＞j，则有sk =aaji 可以被n 整除。 ⑵证明在任意选取的n +2 个正整数中存在着两个正整数，其差能被2n 整除或者其和能被2n 整除。 解：设任意n +2 正整数aaan 221,......, ，任意取两个整数的差为sk =aaji ,i>j. 差除以2n 的余数为ri 。 ∴0≤ri ≤2n -1 如果存在i，使得ri =0.则aaji 可以被n 整除，对所有i，i=1,2 。。。。2n 都有ri ≠0 则这 2n 个i 中只能取1,2.。。。...
