三角和二项式系数的性质VIP免费

POWERPOINTPRESENTATIONMathematics数学选修2-3授课人：范国柱凯里实验高级中学§1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质杨辉（南宋著名数学家）杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江杭州）人，南宋杰出的数学家和数学教育家，生平履历不详。曾担任过南宋地方行政官员，为政清廉，足迹遍及苏杭一带。他在总结民间乘除捷算法、“垛积术”、纵横图以及数学教育方面，均做出了重大的贡献。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。著有数学著作5种21卷，即《详解九章算法》12卷，《日用算法》2卷，《乘除通变本末》3卷，《田亩比类乘除捷法》2卷和《续古摘奇算法》2卷后三种合称为《杨辉算法》。朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。杨辉还曾论证过弧矢公式，时人称为“辉术”。与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。杨辉在《详解九章算法》一书中还画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”。杨辉课前引入二项展开式中的二项式系数指的是那些？共有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质？我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时，二项式系数有什么特点？一般地，对于nN*有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabCaCabCabCabCb二项定理:一、新课引入新知探究展开式中的二项式系数，如下表所示：nba)(111211331146411510105116152015611)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab………………0111CC012222CCC01233333CCCC0123444444CCCCC012345555555CCCCCC01234566666666CCCCCCC0121......rnnnnnnnnCCCCCC“杨辉三角”的来历及规律新知探究0)(ba1)(ba3)(ba2)(ba4)(ba5)(ba6)(ba111112113311464115510101166151520表中每行两端都是1，与这两个1等距离的系数相等；而且在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和；同一行中系数先增后减。上面的表叫做二项式系数表(杨辉三角)新知探究(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．这就是组合数的性质1:mnmnnCC(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.1kknnCC与(2)递推性:除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和.这就是组合数的性质2:11mmmnnnCCC二项式系数的性质新知探究(3)增减性与最大值.增减性的实质是比较的大小.1kknnCC与1!1!1!()!(1)!(1)!kknnnnknnkCCknkkknkk所以相对于的增减情况由决定．knC1Cknkkn12111nkkkn12nk可知，当时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。新知探究（3）增减性与最大值因此，当n为偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n为奇数时，中间两项的二项式系数、相等，且同时取得最大值。2Cnn21Cnn21Cnn新知探究（4）各二项式系数的和nnnnnn2CCCC210这就是说，的展开式的各二项式系数的和等于：nba)(n2新知探究一般地，展开式的二项式系数有如下性质：nba)(（1）nnnnCCC,,10mnnmnCC（2）（3）当时，（4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC当时，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210新知探究由函数图象也可以很直观地看到“对称性”、“增减性与最大值”，一目了然.还可运用函数的观点，结合“杨辉三角”和函数图象，研究二项式系数的性质．(a+b)n展开式的二项式系数是可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是{0,1,2,…,n},对于确定的n,可以画出它的图像。例如：当n=6时，其图象是右图中的7个孤立点.012,,,,.rnnnnnnCCCCC，,rnC..----------1084621620f(r).....369r课堂练习1）已知，那么=；2）的展开式中，二项式系数的最大值是；3）若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大，则n=；591515,CaCb1016C9()ab()nab课堂练习a+b12619典例解析例1证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．nba)(典型例题典例解析证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：021312nnnnnCCCC...