外接球和内切球专题VIP专享VIP免费

微专题巧突破冲击名校自主阅读巧定各类外接球的球心简单多面体的外接球问题是立体几何中的难点也是重要的考点，此类问题最能有效考查考生的空间想象能力，自然受到命题者的青睐。有些同学对于此类问题的解答，往往不知从何处入手，其实简单多面体的外接球问题实质上就是解决球的半径和确定球心位置的问题，其中球心的确定是关键，抓住球心就抓住了球的位置。为此下面介绍了几个解决球类问题的策略，可以快速秒杀各类球的球心。一、由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心。深刻理解球的定义，可以得到简单多面体的一些常见结论：1．长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点；2．正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点；3．直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点；4．正棱锥的外接球球心在其高线上，具体位置可通过构造直角三角形运用勾股定理计算得到；5．若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心。【典例1】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是()A．16πB．20πC．24πD．32π【解析】已知各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，可求得底面边长为2，故球的直径为22＋22＋42＝26，半径为6，球的表面积为24π，故选C。【答案】C【小结】本题是运用“正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径”这一性质来迅速求解的。【变式训练1】已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球的表面积为()A．16πB．4πC．8πD．2π【解析】由三视图可知该三棱锥的高为1，底面为一个直角三角形，由于底面斜边上的中线长为1，则底面外接圆的半径为1，顶点在底面上的投影落在底面外接圆的圆心上。由于顶点到底面的距离与底面外接圆的半径相等，则三棱锥的外接球的半径R为1，则三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π，故选B。【答案】B二、构造长方体或正方体确定球心1．正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；2．同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥，可将三棱锥补形成长方体或正方体；3．若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补形成长方体或正方体；4．若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补形成长方体或正方体。【典例2】若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的体积是________。【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则可将三棱锥补形成正方体。从而外接球的直径为3，半径为32，故所求外接球的体积V＝4π3×323＝9π2。【答案】9π2【小结】一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a，b，c，则可以将这个三棱锥补形成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径。设其外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2。【变式训练2】(2016·洛阳统一考试)如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为()A．200πB．150πC．100πD．50π【解析】由三视图知，该几何体可以由一个长方体截去3个角后得到，该长方体的长、宽、高分别为5、4、3，所以其外接球半径R满足2R＝42＋32＋52＝52，所以该几何体的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×5222＝50π。故选D。【答案】D三、由性质确定球心利用球心O与截面圆圆心O′的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心。【典例3】正三棱锥A－BCD内接于球O，且底面边长为3，侧棱长为2，则球O的表面积为________。【解析】如图，设三棱锥A－BCD的外接球的半径为r，M为正△BCD的中心，因为BC＝CD＝BD＝3，AB＝AC＝AD＝2，AM⊥平面BCD，所以DM＝1，AM＝3，又OA＝OD＝r，所以(3－r)2＋1＝r2，解得r＝233，所以球O的表面积S＝4πr2＝16π3。【答案】16π3【小结】本题是运用公式R2＝r2＋d2求球的半径的，该公式是求球...