高等数学--4.无穷级数和微分方程VIP专享VIP免费

无穷级数一、数项级数二、幂级数讨论敛散性求收敛范围，将函数展开为幂级数，求和。三、傅立叶级数求函数的傅立叶级数展开，讨论和函数的性质。 一、判断数项级数敛散的方法1 、利用已知结论：等比级数、 P- 级数及级数性质2 、利用必要条件：主要判别发散3 、求部分和数列的极限4 、正项级数的审敛法1 ）比值审敛法（根值审敛法）2 ）比较审敛法（或极限形式）5 、交错级数审敛法：莱布尼兹定理6 、一般级数审敛法：先判断是否绝对收敛，如果绝对收敛则一定收敛；否则判断是否条件收敛 1. 数项级数及收敛定义：给定一个数列,,,,,321nuuuu将各项依,1nnu即称上式为无穷级数，其中第 n 项 nu 叫做级数的一般项 ,级数的前 n 项和称为级数的部分和 .次相加 , 简记为收敛 ,则称无穷级数并称 S 为级数的和。 时当1qpppn131211 等比级数 ( 又称几何级数 )( q 称为公比 ). 级数收敛 ,;1 qa级数发散 .其和为发散。收敛，当11ppP- 级数 2. 无穷级数的基本性质 ,1nnuS1nnv)(1nnnvu 性质 1. 若级数收敛于 S ,,1nnuS则各项乘以常数 c 所得级数也收敛 ,即其和为 c S .性质 2. 设有两个收敛级数则级数也收敛 , 其和为.S 说明 :(2) 若两级数中一个收敛一个发散 , 则)(1nnnvu 必发散 . 但若二级数都发散 ,不一定发散 .(1) 性质 2 表明收敛级数可逐项相加或减 .( 用反证法可证 ) 性质 3.在级数前面加上或去掉有限项 , 不会影响级数的敛散性 .性质 4. 收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级的和 .推论 : 若加括弧后的级数发散 , 则原级数必发散 .注意 : 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛 .性质 5 ：设收敛级数则必有可见 : 若级数的一般项不趋于 0 , 则级数必发散 . * 例 1. 判断级数的敛散性 :.,21211收敛的等比级数是 qnn解 : 该级数是下列两级数之差故原级数收敛 ..,31311收敛的等比级数是 qnn ( 比较审敛法 )设且存在对一切有(1) 若强级数则弱级数(2) 若弱级数则强级数则有收敛 ,也收敛 ;发散 ,也发散 .是两个正项级数 , ( 常数 k > 0 ),3. 正项级数审敛法 的敛散性。判别级数例1)1(12nnn11)1(1)1(12nnnn ( 比较审敛法的极限形式 ),limlvunnn则有两个级数同时收敛或发散 ;(2) 当 l = 0 ...