1 / 2 有关三角形的几个心的向量式问题1、ABC 的外心是三条边AB、BC、CA的线段垂直平分线的交点结论： O 为ABC 的外心222OAOBOC2、ABC 的重心是三条中线的交点结论： O 为ABC 的重心0OAOBOC.3、ABC 的垂心是三条高线的交点结论： O 为ABC的垂心OAOB OB OC OC OA. 4、ABC 的内心是三条内角平分线的交点结论： O 为ABC 的内心0aOA bOB cOC. 5、ABC 的旁心是两条外角平分线和一条内角平分线的交点结论： O 为ABC 的A 的旁心aOA bOB cOC要会证明6、综合应用（1） ABC 的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，)(OCOBOAmOH，则实数 m = 1 （2）如果ABC 的外接圆的圆心为O，OCOBOAOH，那么 H是ABC 的垂心（3）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足)||||(ACACABABOAOP，＋，0，则 P 的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心（4）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足RCACACBABABOAOPsinsin则 P 的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心（5）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P 满足RCACACBABABOAOPcoscos则 P的轨迹一定通过△ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心（6）已知 A，B， C是平面上不共线上三点，O为ABC 外心，动点P满足OCOBOAOP)21()1()1(31)0(且R, 则 P 的轨迹定过ABC 的（）A 内心 B 垂心 C 重心 DAB边的中点下面证明： 设 O 为ABC 所在平面上一点，角,,A B C 所对边长分别为, ,a b c ，则2 / 2 O 为ABC 的内心0aOA bOB cOC. 证明：cbacBDbDCOADOBODBcbDOcbOAaBOcbcOCOBcbBOcBObOCcOBc0OCcOBbOAa▲给出直线的方向向量ku,12或0,,mnmu，等于已知直线的斜率为mnk或▲ 给 出ABOBOA与相 交 ， 等 于 已 知ABOBOA过的 中 点 ▲ 给 出OCOBOA与共 线 ， 等 于 已 知OMOC与共 线 ， 其 中ABM是的 中 点 ▲ 给 出OPNPM等于已知MNP是的中点 ▲ 给出ONOMOP21等于已知MNP是的中点 ▲ 给出021 MNPN等于已知MNP是的中点 ▲给出BQBPAQAP等于已知PQBA与,的中点三点共线▲ 给出以下情形之一①AB ∥ AC ，②存在实数,,ACAB使③ 若 存 在 实 数,且,,,1OBOAOC使等 于 已 知CBA,,三点共线 ▲给出1OBOAOP，等于已知ABP是的定比分点点，为定比，即PBAP▲ 对于不共线的向量,,MBMA给出0MBMA，等于已知MBMA即AMB 是直角（什么情况下为锐角或钝角呢？）▲给出MPMBMBMAMA等 于 已 知 MP是AMB的 平 分 线 ▲ 在 平 行 四 边 形ABCD中 ， 给 出0ADABADAB等于已知 ABCD 是菱形，给出ADABADAB等于已知 ABCD 是矩形， ▲已知ABC ，若对任意ACBCtBARt,，则ABC 一定为直角三角形，且C 为直角。 ▲在ABC 中，给出AMBmMBMAcot等于已知AMB 的面积为m21
