2014年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题及详细解析(Word版)VIP免费

1 2014 年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷） 参考答案及评分标准 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分。 1. 若正数ba,满足)(loglog3log2632baba，则ba11 的值为_________ 答案：108. 解：设kbaba)(loglog3log2632，则22 ka，33 kb，kba6，从而10832326113232kkkabbaba。 2. 设集合}21|3{baba中的最大元素与最小元素分别为 M ，m ，则mM 的值为___________ 答案：325 。 解：由21ba知，52133 ba，当1a，2b时，得最大元素5M，又3233aaba，当3 ba时，得最小元素32m。因此，325  mM。 3. 若函数|1|)(2xaxxf在),0[  上单调递增，则实数a 的取值范围是________ 答案：]0,2[ 解：在),1[  上，aaxxxf2)(单调递增，等价于12  a，即2a。在]1,0[上，aaxxxf2)(单调递增，等价于02 a，即0a，因此实数a 的取值范围是]0,2[ 4. 数列}{na满足21 a，*)(1)2(21Nnannann，则2013212014...aaaa_____ 答案： 20132015。 解：由题设2112)1(2)1(2nnnannnnanna )1(223212)1(211 nannnnn 记数列}{na的前n 项和为nS ，则 )1(24232212 nSnn 所以)1(2423222232nSnn 2 将上面两式相减，得nnSnnnn2)2222()1(212 故201320152013220152...201320132013212014aaaa 5. 正四棱锥P—ABCD 中，侧面是边长为 1 的正三角形，M，N 分别是边 AB，BC 的中点，则异面直线 MN 与 PC 之间的距离是____________ 答案： 42 解：设底面对角线 AC，BD 交于点 O，过点 C 作直线 MN 的垂线，交 MN 于点 H。 由于 PO 是底面的垂线，故PO⊥CH，又 AC⊥CH，所以 CH⊥平面POC，故CH⊥PC。 因此 CH 是直线 MN 与 PC 的公垂线段，又4222CNCH，故异面直线 MN 与 PC 之间的距离是 42。 6. 设椭圆 的两个焦点是21,FF，过点1F 的直线与 交于点QP,。若||||212FFPF，且||4||311QFPF 。则椭圆 的短轴与长轴的比值为_______ 答案：762 解：不妨设4||1 PF， 3||1 QF。记椭圆 的长轴，短轴的长度分别为 a2 ，b2 ，焦距为 c2...