1、(2015 年1 卷18 题)如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. 试题解析:(Ⅰ)连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF,在菱形ABCD 中,不妨设 GB=1,由∠ABC=120°,可得 AG=GC= 3 . 由 BE⊥平面 ABCD,AB=BC 可知,AE=EC, 又 AE⊥EC,∴EG= 3 ,EG⊥AC, 在 Rt△EBG 中,可得 BE=2 ,故 DF=22 . 在 Rt△FDG 中,可得 FG=62 . 在直角梯形BDFE 中,由 BD=2,BE= 2 ,DF=22 可得 EF= 3 22, ∴222EGFGEF,∴EG⊥FG, AC∩FG=G,∴EG⊥平面 AFC, EG 面 AEC,∴平面 AFC⊥平面 AEC. (Ⅱ)如图,以 G 为坐标原点,分别以,GB GC 的方向为x轴,y 轴正方向,||GB 为单位长度,建立空间直角坐标系 G-xyz,由(Ⅰ)可得 A(0,- 3 ,0),E(1,0, 2 ),F(-1,0,22 ),C(0,3 ,0),∴ AE =(1,3 ,2 ),CF =(-1,- 3 ,22 ).…10分 故3cos,3||||AE CFAE CFAECF . 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为33 . 2、(2016 年 1 卷 18 题)如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形,AF=2FD, 90AFD,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60 . (I)证明:平面 ABEF 平面 EFDC; (II)求二面角E-BC-A 的余弦值. 试题解析:(I)由已知可得FDF ,FF ,所以F 平面 FDC. 又F 平面F ,故平面F 平面 FDC. (II)过D 作 DGF ,垂足为G ,由(I)知DG 平面F . 以G 为坐标原点,GF的方向为x 轴正方向, GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz. 由(I)知DF 为二面角DF 的平面角,故DF60 ,则 DF2, DG3,可得 1,4,0, 3,4,0 , 3,0,0 , D 0,0, 3 . 由已知,// F ,所以//平面 FDC. 又平面CD平面 FDCDC,故//CD,CD// F. 由// F ,可得 平面 FDC,所以C F 为二面角CF的平面角, C F60 .从而可得 C2,0, 3. 所以C1,0, 3,0,4,0 ,C3, 4, 3 ,4,0,0 . 设, ,nx y z是平面C 的法向量,则 C00nn...