1、（2015 年1 卷18 题）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. 试题解析：（Ⅰ）连接 BD，设 BD∩AC=G，连接 EG，FG，EF，在菱形ABCD 中，不妨设 GB=1，由∠ABC=120°，可得 AG=GC= 3 . 由 BE⊥平面 ABCD，AB=BC 可知，AE=EC， 又 AE⊥EC，∴EG= 3 ，EG⊥AC， 在 Rt△EBG 中，可得 BE=2 ，故 DF=22 . 在 Rt△FDG 中，可得 FG=62 . 在直角梯形BDFE 中，由 BD=2，BE= 2 ，DF=22 可得 EF= 3 22， ∴222EGFGEF，∴EG⊥FG， AC∩FG=G，∴EG⊥平面 AFC， EG 面 AEC，∴平面 AFC⊥平面 AEC. （Ⅱ）如图，以 G 为坐标原点，分别以,GB GC 的方向为x轴，y 轴正方向，||GB 为单位长度，建立空间直角坐标系 G-xyz，由（Ⅰ）可得 A（0，－ 3 ，0），E（1,0, 2 ），F（－1,0，22 ），C（0，3 ，0），∴ AE =（1，3 ，2 ），CF =（-1，- 3 ，22 ）.…10分 故3cos,3||||AE CFAE CFAECF . 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为33 . 2、（2016 年 1 卷 18 题）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面 ABEF为正方形,AF=2FD, 90AFD,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60 ． （I）证明：平面 ABEF 平面 EFDC； （II）求二面角E-BC-A 的余弦值． 试题解析：（I）由已知可得FDF ,FF ,所以F 平面 FDC． 又F 平面F ,故平面F 平面 FDC． （II）过D 作 DGF ,垂足为G ,由（I）知DG 平面F ． 以G 为坐标原点,GF的方向为x 轴正方向, GF 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz． 由（I）知DF 为二面角DF 的平面角,故DF60 ,则 DF2, DG3,可得 1,4,0, 3,4,0 , 3,0,0 , D 0,0, 3 ． 由已知,// F ,所以//平面 FDC． 又平面CD平面 FDCDC,故//CD,CD// F． 由// F ,可得 平面 FDC,所以C F 为二面角CF的平面角, C F60 ．从而可得 C2,0, 3． 所以C1,0, 3,0,4,0 ,C3, 4, 3 ,4,0,0 ． 设, ,nx y z是平面C 的法向量,则 C00nn...
