2019届高中数学数列求和：裂项相消法的八种类型(无答案)VIP免费

裂 项 相 消 法 的 八 种 类 型 一 、 等 差 型 : 设等差数列｛ᵈᵈ｝的各项不为零，公差为ｄ，则 ᵼᵈᵈ∙ᵈᵈ+ᵼ= ᵼᵈ ( ᵼᵈᵈ−ᵼᵈᵈ+ᵼ) 常 见 题 型 如 下 ： 1. 11×2 + 12×3 +⋯ +1ᵅ×(ᵅ+1) = 1 − 12 +12 − 13 +⋯ +1ᵅ−1ᵅ+1= 1 −1ᵅ+1 2. 1１ ×３ ＋1３ ×５ ＋ ⋯++1（ ２ ｎ － １ ）（ +２ ｎ ＋ １ ）+=12 (1 − 13) +12 (13 − 15) +⋯ +12 (12ᵅ−1 −12ᵅ+1) =12 (1 −12ᵅ+1) 3.+1１ ×4＋14×7++＋ ⋯++＋ +1（3ｎ－１）（+3ｎ＋2）+=13 (1 − 14) +13 (14 − 17) +⋯ +13 (13ᵅ−1 −13ᵅ+2) =13 (1 −13ᵅ+2) 4. +11×3 + 12×4 +⋯ +1ᵅ×(ᵅ+2) = 12 (1 − 13) +12 (12 − 14) +⋯ +12 (1ᵅ−1ᵅ+2) = 12 (1 +12 −1ᵅ+1−1ᵅ+2) 5.(−1) ᵅ4ᵅ(2ᵅ−1) (2ᵅ+1) = (−1) ᵅ(12ᵅ−1 +12ᵅ+1) 二 、 无 理 型 ： 该类型的特点是分母为两个根式之和，这两个根式的平方差为常数，然后通过分母有理化来达到消项的目的 1.1√ᵅ + √ᵅ + 1= √ᵅ + 1 − √ᵅ 2.1√2ᵅ+1+√2ᵅ−1 = 12 (√2ᵅ + 1 − √2ᵅ − 1) 3.nknkknn11 练 习 ： 求 {1(ᵅ+1)√ᵅ+ᵅ√ᵅ+1} 的 前 n 项 和 解 ： ᵄᵅ =1(ᵅ+1)√ᵅ+ᵅ√ᵅ+1= (ᵅ+1)√ᵅ−ᵅ√ᵅ+1(ᵅ+1)2ᵅ−ᵅ 2(ᵅ+1)= 1√ᵅ −1√ᵅ+1. 得 ᵄᵅ=+(1− 1√2) + ( 1√2 − 1√3) ⋯ + ( 1√ᵅ −1√ᵅ+1) = 1 −1√ᵅ+1. 三 、 指 数 型 ： 根据指数的运算方法（a-1）ᵈᵈ＝ᵈᵈ+ᵼ − ᵈᵈ，因 此 一 般 地 有(ᵈ−ᵼ)ᵈᵈ(ᵈᵈ+ᵈ)(ᵈᵈ+ᵼ+ᵈ) =ᵼᵈᵈ+ᵈ −ᵼᵈᵈ+ᵼ+ᵈ 1. 4n4n－ 14n＋1－ 1＝131411411nn 2.ᵽᵈᵽᵽᵈ+ᵼ−ᵽ×ᵽᵈ+ᵼ =ᵽᵈ(ᵽᵈ+ᵼ−ᵼ)(ᵽᵈ−ᵼ) =ᵼᵽᵈ−ᵼ −ᵼᵽᵈ+ᵼ−ᵼ 四 、 对 数 型 ： 利 用 对 数 的 运 算 法 则 ᵈᵉᵈᵈᵇᵇ = ᵈᵉᵈ ᵇ − ᵈᵉᵈ ᵇ ，+ᵂᵂᵂᵈᵈᵈ+ᵼᵈᵈ= ᵂᵂᵂᵈᵈᵈ+ᵼ− ᵂᵂᵂᵈᵈᵈ 例1.各项都是正数的等比数列 na满足ᵄᵅ ≠ 1(ᵅ ∈ ᵄ ∗)，当ᵅ ≥ 2时，证明： 1ᵅᵅ ᵄ1 ᵅᵅ ᵄ2+1ᵅᵅ ᵄ2 ᵅᵅ ᵄ3+⋯1ᵅᵅ ᵄᵅ−1 ᵅᵅ ᵄᵅ=ᵅ−1ᵅᵅ ᵄ1 ᵅᵅ ᵄᵅ. 分析 设等比数列...