1.掌握正方形的定义,弄清正方形与平行四边形、菱形、矩形的关系。 2.掌握正方形的性质定理1 和性质定理2。 3.正确运用正方形的性质解题。 4.通过四边形的从属关系渗透集合思想。 5.通过理解四种四边形内在联系,培养学生辩证观点。 知识结构 正方形的性质 因为正方形是特殊的平行四边形,还是特殊的矩形,特殊的菱形, 所以它具有这些图形性质的综合,因此正方形有以下性质(由学生 和老师一起总结)。 正方形性质定理1:正方形的四个角都是直角,四条边相等。 正方形性质定理2:正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 说明:定理2 包括了平行四边形,矩形,菱形对角线的性质,一个题设同时有四个结论,这是该定理的特点,在应用时需要哪个结论就用哪个结论,并非把结论写全。 小结: (1)正方形与矩形,菱形,平行四边形的关系如上图 (2)正方形的性质: ①正方形对边平行。 ②正方形四边相等。 ③正方形四个角都是直角。 ④正方形对角线相等,互相垂直平分,每条对角线平分一组对角。 例1.如图,折叠正方形纸片ABCD ,先折出折痕BD ,再折叠使AD 边与对角线BD 重合,得折痕DG ,使2AD ,求AG . 【解析】:作GM⊥BD,垂足为M. 由题意可知∠ADG=GDM, 则△ADG≌△MDG. ∴DM=DA=2. AC=GM 又易知:GM=BM. 而BM=BD-DM=22 -2=2(2 -1), ∴AG=BM=2(2 -1). 例2 .如图,P 为正方形ABCD 内一点,10PAPB,并且P 点到CD 边的距离也等于1 0 ,求正方形ABCD的面积? 【解析】:过P 作EFAB于F 交DC 于E . 设PFx,则10EFx,1 (10)2BFx. 由222PBPFBF. 可得:22211 0(10)4xx. 故6x . 2162 5 6ABCDS. 例3. 如图,E 、F 分别为正方形ABCD 的边BC 、CD 上的一点,AMEF,•垂足为M ,AMAB,则有EFBEDF,为什么? 【解析】:要说明EF=BE+DF,只需说明BE=EM,DF=FM 即可,而连结AE、AF.只要能说明△ABE≌△AME,△ADF≌△AMF 即可. 理由:连结AE、AF. 由AB=AM,AB⊥BC,AM⊥EF,AE 公用, ∴△ABE≌△AME. ∴BE=ME. 同理可得,△ADF≌△AMF. ∴DF=MF. ∴EF=ME+MF=BE+DF. 例4.如下图E 、F 分别在正方形ABCD 的边BC 、CD 上,且45EAF,试说明EFBEDF。 【解析】:将△ADF 旋转到△ABC,则△ADF≌△ABG ∴AF=AG,∠ADF=∠BAG,DF=BG ∠EAF=45°且四边形是...