下载后可任意编辑中考数学经典压轴题大集合（二）（含解答） 中考数学压轴题大集合（二）17
（2024 浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与 y 轴相切于 D 点，与 x 轴相交于 A（2，0）、B（8，0）两点，圆心 C 在第四象限
（1）求点 C 的坐标； （2）连结 BC 并延长交⊙C 于另一点 E，若线段 BE 上有一点 P，使得 AB2＝BP·BE，能否推出 AP⊥BE
请给出你的结论，并说明理由； （3）在直线 BE 上是否存在点 Q，使得 AQ2＝BQ·EQ
若存在，求出点 Q 的坐标； 若不存在，也请说明理由
[解]（1）C（5，-4）； （2）能
连结 AE， BE 是⊙O 的直径，∴∠BAE=90°
在△ABE 与△PBA 中，AB2 ＝ BP·BE, 即 , 又 ∠ ABE=∠PBA,∴△ABE∽△PBA
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP⊥BE
（3）分析：假设在直线 EB 上存在点 Q，使 AQ2＝BQ·EQ
Q 点位置有三种情况： ① 若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点 C 即点 Q； ② 若无两条等长，且点 Q 在线段 EB 上，由 Rt△EBA 中的射影定理知点 Q 即为 AQ⊥EB 之垂足； ③ 若无两条等长，且当点 Q 在线段 EB 外，由条件想到切割线定理，知 QA切⊙C 于点 A
设 Q(),并过点 Q 作 QR⊥x 轴于点 R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法
解题过程： ① 当点 Q1 与 C 重合时，AQ1=Q1B=Q1E,显然有 AQ12＝BQ1·EQ1,∴Q1(5,-4)符合题意； ② 当 Q2 点在线段 EB 上， △ABE 中，∠BAE=90°∴点 Q2 为 AQ2 在 BE 上的垂足，∴AQ2==4
∴Q2 点的横坐标是 2+AQ2·∠BAQ2
