2020 年高考数学立体几何建系困难问大题精做 1.已知三棱锥 PABC（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形 ABCD 为边长等于2 的正方形，ABE△和BCF△均为正三角形，在三棱锥 PABC中： （1）证明：平面 PAC 平面 ABC ； （2）若点 M 在棱 PA 上运动，当直线 BM 与平面 PAC 所成的角最大时，求二面角 PBCM的余弦值． 图一 图二 2．矩形 ABCD 中，1AB ，2AD ，点 E 为 AD 中点，沿 BE 将ABE△折起至PBE△，如图所示，点 P在面 BCDE 的射影O 落在 BE 上． （1）求证：面 PCE 面 PBE ； （2）求平面 PCD 与平面 PBE 所成锐二面角的余弦值． 3．如图 1，在矩形 ABCD 中，35AB ，25BC ，点 E 在线段 DC 上，且5DE ，现将AED△沿 AE 折到AED△的位置，连结CD ， BD ，如图 2． （1）若点 P 在线段 BC 上，且52BP ，证明： AED P ； （2）记平面 AD E 与平面 BCD 的交线为l．若二面角 BAED为 2 π3，求l与平面 D CE所成角的 正弦值． 4．如图，在四棱锥 PABCD中，已知底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，侧面 PAD 平面 ABCD ，PAPD， PA 与平面 PBC 所成角的正弦值为2 17． （1）求侧棱 PA 的长； （2）设 E为 AB 中点，若 PAAB，求二面角 BPCE的余弦值． 1 .【答案】（1）见解析；（2） 5 3333． 【解析】（1）设 AC 的中点为O ，连接 BO ， PO ． 由题意，得2PAPBPC，1PO ， 1AOBOCO ． 在PAC△中， PAPC，O 为 AC 的中点，∴POAC， 在POB△中，1PO ，1OB ，2PB ，222POOBPB，∴POOB． ACOBO， AC ， OB 平面，∴PO 平面 ABC ， PO 平面 PAC ，∴平面 PAC 平面 ABC ． （2）由（1）知， BOPO， BOAC， BO 平面 PAC ， ∴BMO是直线 BM 与平面 PAC 所成的角，且1tanBOBMOOMOM， ∴当OM 最短时，即 M 是 PA 的中点时，BMO最大． 由 PO 平面 ABC ，OBAC，∴POOB， POOC， 于是以 OC ，OB ，OD 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图示空间直角坐标系， 则 0,0,0O， 1,0,0C， 0,1,0B， 1,0,0A ， 0,0,1P，11,0,22M ， 1, 1,0BC ...
