1 单摆振动的周期和运动规律 [问题] 单摆振动的周期和运动规律 (1)求单摆的周期与角振幅的关系。 (2)演示单摆的振动。 [数学模型] (1)如 A5.1 图所示，设摆锤质量为 m，角位置为 θ，摆锤的运动方程为 22dsindmlmgt ， 即 22dsindgtl ， (5.1.1) 在小角度的情况下，sinθ ≈ θ，可得 2202d0dt ， (5.1.2) 其中0/g l ，ω 0 为圆频率。可知：单摆在小角度时作简谐振动，小角度周期为 002π2πlTg。 (5.1.3) 可见：在小角振动的情况下，单摆的周期与角振幅无关，这称为单摆的等时性。 摆锤的角速度为 ω = dθ/dt，因此 22ddddddddddttt ， 由(5.1.1)式可得 dsin dgl ， 积分得 21cos2gCl， 当 t = 0 时，ω = 0，θ = θm，可得 C = -gcosθm/l。因此角速度大小为 md2 (coscos)dgtl。 (5.1.4) 注意：角速度是单位时间内角度的变化率 dθ/dt，圆频率是简谐运动中 2π 时间内周期性运动的次数 2π/T，它们常用字母 ω 表示，单位也相同，但意义不同。单摆的周期为 θ l mg O ft T A5.1图 2 mm000mmd2d4 2πcoscoscoscoslTTg。 (5.1.5) 对于任何角振幅 θm，通过数值积分和符号积都能计算周期。 利用半角公式可得 m0220m1dπsin/ 2 sin/ 2TT。 设 msin 2k， (5.1.6) 并设 ksinx = sin(θ/2)，因此1cos dcosd22kx x ，可得 π/2π/20022220012 cos d2dππcos( / 2)sin1 sin/ 2kx xxTTTkkx， 即 π/202202dπ1sinxTTkx。 (5.1.7) 这是椭圆积分。第一类完全椭圆积分定义为 π/2220dK( )1sinxkkx， (5.1.8) 周期为 02 K( )πTTk。 (5.1.9) [算法]对于任何一个角振幅 θm，利用(5.1.5)式，通过 MATLAB 数值积分指令 quadl 和符号积分指令 int 都可计算单摆的周期。利用 MATLAB 的完全椭圆积分指令 ellipke 也能计算单摆的周期。不过，MATLAB 定义的一类完全椭圆积分定义为 π/220dK( )1sinxmmx， (5.1.8*) 周期可表示为 02 K( )πTTm。 (5.1.9*) 其中 2msin2m。 (5.1.6*) [程序]zqy5_1circle.m 如下。 3 %单摆的周期(用内线函数数值积分和符号积分与椭圆积分比较) clear %清除变量 theta=1:179;...
