《椭圆》方程典型例题20 例典型例题一例 1椭圆的一个顶点为02，A，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程．分析： 题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．解：（1）当02，A为长轴端点时，2a，1b，椭圆的标准方程为：11422yx；（2）当02，A为短轴端点时，2b，4a，椭圆的标准方程为：116422yx；说明：椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．典型例题二例 2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222cac∴223ac，∴3331e．说明： 求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求a ，求 c ，再求比．二是列含 a 和 c 的齐次方程，再化含 e 的方程，解方程即可．典型例题三例 3 已知中心在原点， 焦点在 x 轴上的椭圆与直线01yx交于 A 、B 两点，M 为 AB 中点， OM 的斜率为 0.25 ，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222yax，由101222yaxyx，得021222xaxa，∴222112aaxxxM，2111axyMM，4112axykMMOM，∴42a，∴1422yx为所求．说明：（1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法； （2）直线与曲线的综合问题，经常要借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题．典型例题四例 4 椭圆192522yx上不同三点11yxA，，594，B，22yxC，与焦点04，F的距离成等差数列．（1）求证821xx；（2）若线段 AC 的垂直平分线与x 轴的交点为 T ，求直线 BT 的斜率 k ．证明：（1）由椭圆方程知5a，3b，4c．由圆锥曲线的统一定义知：acxcaAF12，∴ 11545xexaAF．同理2545xCF． BFCFAF2，且59BF，∴ 51854554521xx，即821xx．（2）因为线段 AC 的中点为2421yy，，所以它的垂直平分线方程为42212121xyyxxyyy．又 点 T 在 x轴上，设其坐标为00，x，代入上式，得212221024xxyyx又 点11yxA，，22yxB，都在椭圆上，∴ 212125259xy222225259xy∴ 21212221259xxxxyy．将此式代入 ①，并利用821xx的结论得253640x∴ 4540590xkBT．典型例题五例 5 已知椭圆13422yx，1F 、2F 为两焦点，问能否在椭圆上找一点M ，使 M到左准线 l 的距离 MN 是1MF 与2MF的等比中项？若存在，则求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．解：假设 M 存在，设11yxM，，由已知条件得2a，3b，∴1c，21e． 左准线 l 的方程是4x，∴14xMN．又由焦半径公式知：111212xexaMF，112212xexaMF． 212MFMF...
