正方形· 典型例题能力素质例 1 如图 4.6 －2，已知正方形 ABCD中，E 为 AD上一点， BF平分∠ EBC交 DC于 F，求证： BE＝AE＋CF．解析证 AE＋CF＝BE，可以把 AE与 CF相接，证其与 BE相等．证明延长 EA到 G，使 AG＝CF，连结 BG．在正方形 ABCD中，AB ＝BC，∠BAG＝∠ C＝90° ．∴△ GAB≌△FCB．∴∠ GBA＝∠FBC．∠G＝∠ BFC．又 AB∥CD．∴∠ BFC＝∠ABF＝∠ EBA＋∠ EBF．又 BF平分∠ EBC，∴∠ EBF＝∠FBC．∴∠ GBA＝∠EBF．∴∠ G＝∠ BFC＝∠ EBA＋∠EBF ＝∠ EBA＋∠GBA ＝∠ EBG．∴BE＝GE＝AG＋AE＝CF＋AE．点击思维例 2 如图 4.6 －3，已知锐角△ ABC中，以 AB，AC为边向外作正方形 ABDE和正方形 ACFG，连结 CE、BG，交点为 O，求证：(1)EC＝BG；(2)EC⊥BG．解析易证△ EAC≌△ BAG，可得 EC＝BG，∠AEC＝∠ ABG，于是可证∠EOB＝∠EAB 证明 (1)在正方形 ABDE和正方形 ACFG中，AE＝AB，AC＝AG，∠EAB＝∠ GAC＝90° ，∴∠ EAB＋∠BAC＝∠ GAC＋∠ BAC．即∠ EAC＝∠BAG，∴△ EAC≌△BAG．∴EC＝BG．(2)由(1) 知：△ EAC≌△ BAG，∴∠ AEC＝∠ABG．又 ∠ 1＝∠2，∴∠ ABG＋∠2＝∠ AEC＋∠1＝90° ．∴∠ EOB＝∠EAB＝90° ∴ EC⊥BG．点评若把例题中，∠ BAC为锐角改为钝角，其余条件不变，上述两结论仍能成吗？如果成立试证明之．例 3 如图 4.6 －4，以△ABC的边 AB，AC为边向形外作正方形ABDE和正方形 ACFG，AH⊥BC，交 EG于 M，垂足为 H，求证： EM＝MG．解析 ( 思路一 ) 过 E作 AG的平行线交 AM延长线于 K，连接 KG，证明四边形 KEAG是平行四边形行即可．(思路二 ) 可证 E，G到 AM的距离相等即可证法一如图 4.6 －4 过 E作 EK∥AG，交 AM的延长线于 K，连结 GK．∴∠ KEA＋∠EAG＝180° ．在正方形 ABDE和正方形 ACFG中，AE＝AB，∠EAB＝∠ GAC＝90° ．∴∠ EAG＋∠BAC＝180° ．∴∠ KEA＝∠BAC． AH⊥BC．∴∠ BAH＋∠ABC＝90° ．又 ∠ EAK＋∠ BAH＝90° ．∴∠ EAK＝∠ABC．又 AB＝AE，∴△ KEA≌△ABC．∴EK＝AC，又 AC＝AG．∴EK＝AG．∴四边形 EAGK是平行四边形．∴EM＝MG．证法二分别过 E，G作 AM的垂线，垂足为 P、Q，在正方形 GACF中，AG＝AC，∠GAC＝90° ．∴∠ GAQ＋∠CAH＝90° ．又 AH⊥BC．∴∠ CAH＋∠ACH＝90° ．∴∠ GAQ＝∠ACH．又∠ GQA...
