1 第三章 离散化结构动力方程的解法 (2013.4.24） §3.1 绪 言 对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，应用瞬时最小势能原理可导出动力方程 MuCuKuF( t ) （3 .1 ） 这里， u 、 u 、 u 及( )F t 分别表示加速度、速度、位移及所作用的外力矢量，他们都是与时间有关的。 从数学的角度来看，式（3.1）是一个常系数的二阶线性常微分方程组，对于它的求解原则上并无困难。但是，由于 M 、 C和 K 的阶数非常高，使得式（3.1）的求解必须花费很大的代价，便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。目前，用于求解式（3.1）的方法，大致可分为两大类。 一是坐标变换法，它是对结构动力方程式（3.1），在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种 Ritz 变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法，即用结构的前 q 阶实际主模态集（主振型阵）构成坐标变换阵进行变换。通过这一变换，实现降阶，求较好的近似解，而且，还用解除耦合的办法，简化方程的计算。还有一种所谓假设模态法，即是用一组假设模态，构成模态坐标变换阵进行变换，获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。显然，这种方法的计算精度，取决于所假设的模态。用Ritz 矢量法求解的近似模态作为假设模态，可得到满足要求的精度。 二是直接积分法，它是对式（3.1）在求解之前，不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。这种方法的特点是对时域进行 2 离散，将式（3.1）分为各离散时刻的方程，然后，将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成，于是，式（3.1）就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值，通常又称为逐步积分法。线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合，就导致了各种不同的方法。主要有中央差分法，Houbolt 方法，Wilson-θ 法和Newmark 方法等。 §3.2 模态（振型）迭加法 设有 n 个自由度的系统，在外力( )F t 的作用下，常常被激起较低阶的一部分模态（即振型），而绝大部分高阶模态被激起的分量很小，一般可忽略不计。例如，在地震载荷作用下，通常，只有最低的二阶，三阶模态起主要作用。所以，对于这样的一些问题，采用模态迭加法是有效的。 设有式（3.1）的n 阶动力方程，起主要作用的是其前 q 阶模态，通常取qn。按 Ritz 变...
