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1 第三章 离散化结构动力方程的解法 (2013.4.24) §3.1 绪 言 对于一个实际结构,由有限元法离散化处理后,应用瞬时最小势能原理可导出动力方程          MuCuKuF( t ) (3 .1 ) 这里, u 、 u 、 u 及( )F t 分别表示加速度、速度、位移及所作用的外力矢量,他们都是与时间有关的。 从数学的角度来看,式(3.1)是一个常系数的二阶线性常微分方程组,对于它的求解原则上并无困难。但是,由于 M 、 C和 K 的阶数非常高,使得式(3.1)的求解必须花费很大的代价,便促使人们去寻求一些效率高的近似计算方法。目前,用于求解式(3.1)的方法,大致可分为两大类。 一是坐标变换法,它是对结构动力方程式(3.1),在求解之前,进行模态坐标变换,实际上就是一种 Ritz 变换,即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。现在,普遍使用的方法是模态(振型)迭加法,即用结构的前 q 阶实际主模态集(主振型阵)构成坐标变换阵进行变换。通过这一变换,实现降阶,求较好的近似解,而且,还用解除耦合的办法,简化方程的计算。还有一种所谓假设模态法,即是用一组假设模态,构成模态坐标变换阵进行变换,获得一组降阶的而不解耦的模态基坐标方程。显然,这种方法的计算精度,取决于所假设的模态。用Ritz 矢量法求解的近似模态作为假设模态,可得到满足要求的精度。 二是直接积分法,它是对式(3.1)在求解之前,不进行坐标变换,直接进行数值积分计算。这种方法的特点是对时域进行 2 离散,将式(3.1)分为各离散时刻的方程,然后,将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成,于是,式(3.1)就化为一个由位移组成的该离散时刻上的响应值,通常又称为逐步积分法。线性代数方程组的解法与静力时刻的位移来线性组合,就导致了各种不同的方法。主要有中央差分法,Houbolt 方法,Wilson-θ 法和Newmark 方法等。 §3.2 模态(振型)迭加法 设有 n 个自由度的系统,在外力( )F t 的作用下,常常被激起较低阶的一部分模态(即振型),而绝大部分高阶模态被激起的分量很小,一般可忽略不计。例如,在地震载荷作用下,通常,只有最低的二阶,三阶模态起主要作用。所以,对于这样的一些问题,采用模态迭加法是有效的。 设有式(3.1)的n 阶动力方程,起主要作用的是其前 q 阶模态,通常取qn。按 Ritz 变...

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