[新整理]三角形“四心”向量形式的结论及证明(附练习答案)VIP专享VIP免费

三角形“四心”向量形式的充要条件应用 在学习了《平面向量》一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下： 一． 知识点总结 1）O 是 ABC的重心 0OCOBOA; 若 O 是 ABC的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA; 1 ()3PGPAPBPC G 为 ABC的重心. 2）O 是 ABC的垂心 OAOCOCOBOBOA; 若 O 是 ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：：：： 故0OCCtanOBBtanOAAtan 3）O 是 ABC的外心 |OC||OB||OA|(或222OCOBOA) 若 O 是 ABC的外心 则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：：：： 故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin 4）O 是内心 ABC的充要条件是 0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才 O 是ABC内心的充要条件可以写成：0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131 O 是 ABC内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa 若 O 是 ABC的内心，则cbaSSSAOBAOCBOC：：：： 故 0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或; ||||||0AB PCBC PACA PBPABC的内心; 向量()(0)|| ||ACABABAC所在直线过 ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)； 二． 范例 (一)．将平面向量与三角形内心结合考查 例 1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点 P 满足)(ACACABABOAOP，,0则 P 点的轨迹一定通过ABC的（ ） （A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心 A C B 1e2eP B C H A 图6 解析：因为ABAB 是向量AB 的单位向量设AB 与AC 方向上的单位向量分别为21ee和， 又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP ，由菱形的基本性质知AP 平分BAC，那么在ABC中，AP平分BAC，则知选B. 点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB 是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？ 此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题...