下载后可任意编辑大学高数下册试题及答案,第 10 章 第十章微分方程作业 20 微分方程基本概念 1．写出下列条件所确定的微分方程： （1）曲线在点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分； 解：法线方程为，法线与轴的交点由已知（2）曲线上任意点处的切线与线段垂直； 解：切线的斜率为，线段的斜率为由已知（3）曲线上任意点处的切线，以及点与原点的连线，和轴所围成的三角形的面积为常数．解：切线方程为，点与原点的连线为切线与轴即直线的交点，由已知 2.．求曲线簇所满足的微分方程．解：由已知，两边对自变量求导两边再对自变量求导 3．潜水艇垂直下沉时所遇到的阻力和下沉的速度成正比，假如潜水艇的质量为，且是在水面由静止开始下沉，求下沉的速度所满足的微分方程和初始条件．解：由已知，作业21 可分离变量的微分方程 1．解微分方程．解：微分方程即分离变量两边积分从而 2.求解初值问题： ．解：微分方程即分离变量两边积分从而由，3．当时，是比高阶的无穷小量，函数在任意点处的增量+，且，求．解：由已知，从而分离变量两边积分由，4．解微分方程．解：微分方程即分离变量两边积分 5．一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴之间的任意切线段均被切点所平分，求这曲线方程．解：由已知当分离变量两边积分由，6．设有连接的一段向上凸的曲线弧,对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的面积为，求曲线弧的方程．解：设曲线为由已知微分方程即从而由，，作业 22 齐次方程 1．解微分方程．解：令则微分方程，即，分离变量两边积分 2．求解初值问题．解：令则微分方程，即，分离变量，两边积分由，3．作适当的变量代换，求下列方程的通解： （1）； 解：令（2）； 解：令，则再令，再令从而（3）．解：令，则，分离变量，两边积分 4．求曲线，使它正交于圆心在轴上且过原点的任何圆（注：两曲线正交是指在交1下载后可任意编辑点处两曲线的切线互相垂直）．解：可设在轴上且过原点的任何圆为，则由已知曲线应满足令则，作业 23 一阶线性微分方程 1．解微分方程．解：对比标准的一阶线性微分方程 2．解微分方程．解：微分方程即 3．解微分方程．解：观察发现，微分方程等价为 4．求解初值问题，．解：对比标准的一阶线性微分方程，由，5．设曲线积分在右半平面（内与路径无关，其中可导，且，求．解：由曲线积分在右半平面（内与路径无关可知，由，6．解微分方程．解：微分方程化为令为一阶线性微分方程作业 24 ...
