二项式系数及项的系数和的问题VIP免费

二项式系数及项的系数的问题若x3＋1xn的展开式的所有二项式系数之和为128，则n＝________.解析：由题意，可知2n＝128，解得n＝7.答案：7在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为()A．6B．9C．12D．18解析在二项式x＋3xn的展开式中，令x＝1得各项系数之和为4n，所以A＝4n，二项展开式的二项式系数和为2n，所以B＝2n，所以4n＋2n＝72，解得n＝3，所以x＋3xn＝x＋3x3的展开式的通项为Tr＋1＝Cr3(x)3－r3xr＝，令3－3r2＝0得r＝1，故展开式的常数项为T2＝3C13＝9.故选B.已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)因为a0＝C07＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)因为(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＋a2＋a3＋a4＝__________.【解析】令x＝1可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1；令x＝0，可得a0＝1，所以a1＋a2＋a3＋a4＝0.已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)的值等于__________．解析令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25，两式相加除以2得a0＋a2＋a4＝24，则a1＋a3＋a5＝－24，所以(a0＋a2＋a4)(a1＋a3＋a5)＝－256.答案－256设x(1－x)7＝a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，则a1＋3a2＋7a3＋15a4＋31a5＋63a6＋127a7＋255a8＝________。解析令x＝1，得a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝0①；令x＝2，得－2＝2a1＋4a2＋8a3＋16a4＋32a5＋64a6＋128a7＋256a8②。②－①得a1＋3a2＋7a3＋15a4＋31a5＋63a6＋127a7＋255a8＝－2。答案－2若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为()A.1或3B.－3C.1D.1或－3解析：选D令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1.令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6. a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3.设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：选A令等式中x＝－1可得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(1＋1)(－1)9＝－2，故选A.已知(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2的值为()A.39B.310C.311D.312解析：选D对(x＋2)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9两边同时求导，得9(x＋2)8＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7＋9a9x8，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9＝310，令x＝－1，得a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9＝32.所以(a1＋3a3＋5a5＋7a7＋9a9)2－(2a2＋4a4＋6a6＋8a8)2＝(a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＋9a9)(a1－2a2＋3a3－…－8a8＋9a9)＝312.若x－3xn展开式的各项系数的绝对值之和为1024，则展开式中x的一次项的系数为________．解析：Tr＋1＝Crn(x)n－r－3xr＝(－3)r·Crnxn－3r2，因为展开式的各项系数绝对值之和为C0n＋|(－3)1C1n|＋(－3)2C2n＋|(－3)3C3n|＋…＋|(－3)nCnn|＝1024，所以(1＋3)n＝1024，解得n＝5，令5－3r2＝1，解得r＝1，所以展开式中x的一次项的系数为(－3)1C15＝－15.答案：－15(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析：(2x－1)6的展开式中，二项式系数最大的项是第四项，系数是C3623(－1)3＝－160.答案：－160x＋13x2n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大，则其常数项为()A．120B．210C．252D．45解析：选B由已知得，二项式展开式中各项的系数与二项式系数相等．由展开式中只有第6项的系数C52n最大，可得展开式有11项，即2n＝10，n＝5.x＋13x10展开式的通项为Tr＋1＝Cr10x5－12rx－r3＝Cr...