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二项式系数及项的系数和的问题VIP免费

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二项式系数及项的系数的问题若x3+1xn的展开式的所有二项式系数之和为128,则n=________.解析:由题意,可知2n=128,解得n=7.答案:7在二项式x+3xn的展开式中,各项系数之和为A,各项二项式系数之和为B,且A+B=72,则展开式中常数项的值为()A.6B.9C.12D.18解析在二项式x+3xn的展开式中,令x=1得各项系数之和为4n,所以A=4n,二项展开式的二项式系数和为2n,所以B=2n,所以4n+2n=72,解得n=3,所以x+3xn=x+3x3的展开式的通项为Tr+1=Cr3(x)3-r3xr=,令3-3r2=0得r=1,故展开式的常数项为T2=3C13=9.故选B.已知(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,求:(1)a1+a2+…+a7;(2)a1+a3+a5+a7;(3)a0+a2+a4+a6;(4)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|.解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=-1.①令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=37.②(1)因为a0=C07=1,所以a1+a2+a3+…+a7=-2.(2)(①-②)÷2,得a1+a3+a5+a7=-1-372=-1094.(3)(①+②)÷2,得a0+a2+a4+a6=-1+372=1093.(4)因为(1-2x)7展开式中a0,a2,a4,a6大于零,而a1,a3,a5,a7小于零,所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a7|=(a0+a2+a4+a6)-(a1+a3+a5+a7)=1093-(-1094)=2187.若(1-2x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,则a1+a2+a3+a4=__________.【解析】令x=1可得a0+a1+a2+a3+a4=1;令x=0,可得a0=1,所以a1+a2+a3+a4=0.已知(1-x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)的值等于__________.解析令x=1,得a0+a1+a2+a3+a4+a5=0,令x=-1,得a0-a1+a2-a3+a4-a5=25,两式相加除以2得a0+a2+a4=24,则a1+a3+a5=-24,所以(a0+a2+a4)(a1+a3+a5)=-256.答案-256设x(1-x)7=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7+a8x8,则a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8=________。解析令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0①;令x=2,得-2=2a1+4a2+8a3+16a4+32a5+64a6+128a7+256a8②。②-①得a1+3a2+7a3+15a4+31a5+63a6+127a7+255a8=-2。答案-2若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,且a1+a2+…+a6=63,则实数m的值为()A.1或3B.-3C.1D.1或-3解析:选D令x=0,得a0=(1+0)6=1.令x=1,得(1+m)6=a0+a1+a2+…+a6. a1+a2+a3+…+a6=63,∴(1+m)6=64=26,∴m=1或m=-3.设(x2+1)(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a11(x+2)11,则a0+a1+a2+…+a11的值为()A.-2B.-1C.1D.2解析:选A令等式中x=-1可得a0+a1+a2+…+a11=(1+1)(-1)9=-2,故选A.已知(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2的值为()A.39B.310C.311D.312解析:选D对(x+2)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9两边同时求导,得9(x+2)8=a1+2a2x+3a3x2+…+8a8x7+9a9x8,令x=1,得a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9=310,令x=-1,得a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9=32.所以(a1+3a3+5a5+7a7+9a9)2-(2a2+4a4+6a6+8a8)2=(a1+2a2+3a3+…+8a8+9a9)(a1-2a2+3a3-…-8a8+9a9)=312.若x-3xn展开式的各项系数的绝对值之和为1024,则展开式中x的一次项的系数为________.解析:Tr+1=Crn(x)n-r-3xr=(-3)r·Crnxn-3r2,因为展开式的各项系数绝对值之和为C0n+|(-3)1C1n|+(-3)2C2n+|(-3)3C3n|+…+|(-3)nCnn|=1024,所以(1+3)n=1024,解得n=5,令5-3r2=1,解得r=1,所以展开式中x的一次项的系数为(-3)1C15=-15.答案:-15(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项的系数是________.(用数字作答)解析:(2x-1)6的展开式中,二项式系数最大的项是第四项,系数是C3623(-1)3=-160.答案:-160x+13x2n(n∈N*)的展开式中只有第6项系数最大,则其常数项为()A.120B.210C.252D.45解析:选B由已知得,二项式展开式中各项的系数与二项式系数相等.由展开式中只有第6项的系数C52n最大,可得展开式有11项,即2n=10,n=5.x+13x10展开式的通项为Tr+1=Cr10x5-12rx-r3=Cr...

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